Презентация, доклад по математике на тему Решение задач №8 ЕГЭ

ЗАДАЧ №8

СТЕРЕОМЕТРИЯ: ОБЪЁМЫ и ПЛОЩАДИ



Стукалова Надежда Васильевна
МБОУ СОШ №15
Г. Мичуринск

вписано в другое

1. Найдите объём параллелепипеда.

Объем конуса равен 6. Найдите объем шара.

шара

цилиндра.

(или размеры) объёмного тела. А узнать надо, как изменится объём или площадь поверхности.

И все изменения происходят по одной из трех осей.
Теперь, когда в задаче написано «высота цилиндра увеличена в 2 раза, а основание уменьшено в 3 раза», это следует понимать так:
Растяжение в 2 раза по оси OZ;
Сжатие в 3 раза по осям OX и OY.
Обратите внимание: сжатие произошло сразу по двум осям. Ведь окружность — фигура двумерная, в отличие, например, от отрезка (который одномерен). Поэтому изменение радиуса влечет растяжение сразу «в обе стороны».

его площадь увеличится в n² раз: Sновая = Sстарая · n²
Аналогично, если все стороны сжать в n раз, площадь уменьшится в n² раз.

Формула площадей очень похожа на частный случай формулы объемов. Разница лишь в степени:
Vновый = Vстарый · n³, поскольку объем — это «трехмерная» величина. Например, объем измеряется в кубических метрах (м³);
Sновая = Sстарая · n², поскольку площадь — величина «двумерная» и измеряется в квадратных метрах (м²).

если все ее стороны увеличить в 7 раз?
Решение
Подставляем n = 7 в формулу площади:
Sновая = Sстарая · 7², Sновая = 49 · Sстарая
Итак, площадь увеличится в 49 раз — это и есть ответ.
Ответ 49

Задача [Материалы индивидуальных занятий]
Площадь первой сферы равна 175. Найдите площадь второй сферы, если ее радиус в 5 раз меньше радиуса первой.
Решение
Работаем по той же формуле: n = 5. Но вместо умножения будет деление, поскольку радиус уменьшается. Имеем:
Sновая = Sстарая : n² = 175 : 5² = 175 : 25 = 7
Ответ 7

ребра увеличить в 3 раза?

будет весить шар, изготовленный из того же материала, если его радиус в 2 раза больше?
Решение
Поскольку шары изготовлены из одного и того же материала, масса меняется по тому же закону, что и объем. Следовательно, работаем по формулам, приведенным выше.
Vстарый = 0,75;
Растяжение в 2 раза по всем осям  n = 2.
Почему растяжение по всем осям одинаково? Да очень просто: если растяжения будут разные, получится «приплюснутый» шар — в математике он называется эллипсоид. Чтобы такого не случилось, радиус меняется по всем осям.
Осталось найти ответ (по упрощенной формуле):
Vновый = Vстарый · n³ = 0,75 · 2³= 6
Ответ 6

Vстарый. Пусть также известны числа a, b и c — коэффициенты растяжения для осей OX, OY и OZ соответственно. Тогда объем нового многогранника Vновый рассчитывается по формуле:
Vновый = Vстарый · a · b · c
Если по какой-то оси производится сжатие многогранника, а не растяжение, то вместо умножения просто пишется деление.

в 2 раза, ребро AC — в 5 раз, а ребро AA1 уменьшили в 7 раз. Найдите объем нового параллелепипеда.
Решение
Только не надо чертить параллелепипед! Эта задача словно создана для решения описанным выше методом. Имеем:
Vстарый = 35;
Ось OX: растяжение в 2 раза, a = 2;
Ось OY: растяжение в 5 раз, b = 5;
Ось OZ: сжатие в 7 раз, c = 1/7.
Рассчитываем объем нового параллелепипеда:
Vновый = Vстарый · a · b · c = 35 · 2 · 5 : 7 = 50
Получили, что Vновый = 50 — это и есть ответ.

основания уменьшили в 3 раза. Найдите объем нового цилиндра, если объем исходного равен 45 м³.
Решение
По условию, нам известно:
Vстарый = 45;
По оси OZ идет растяжение в 4 раза, поэтому c = 4;
По осям OX и OY идет сжатие в 3 раза,
поэтому a = b = 1/3.
Теперь можно найти объем:
Vновый = Vстарый · a · b · c = 45 · 4 : 3 : 3 = 20

Уровень воды достигает 12см. На какой высоте будет находится уровень воды, если её перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в два раза больше, чем у первого?

плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём отсеченной треугольной призмы.

раза шире. Найдите отношение объёма второй кружки к объёму первой.

объём части многогранника

является грань куба, а вершиной – центр куба.

V/π .

многогранника, вписанного в многогранник

многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра.

K

M

P

A

B

C

D

O

●

Q

●