Презентация, доклад по математике на тему Квадратные уравнения ( 8 класс).

a, b и c – некоторые числа, причем a отлично от нуля.

Числа a, b и c называют коэффициентами квадратного уравнения a·x2+b·x+c=0, причем коэффициент a называют первым, или старшим, или коэффициентом при x2, b – вторым коэффициентом, или коэффициентом при x, а c – свободным членом.

если хотя бы один из коэффициентов b, c равен нулю.




Полное квадратное уравнение – это уравнение, у которого все коэффициенты отличны от нуля.

когда c=0.
Разберем по порядку, как решаются неполные квадратные уравнения каждого из этих видов.
a·x2=0
Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых коэффициенты b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида a·x2=0. Уравнению a·x2=0 равносильно уравнение x2=0, которое получается из исходного делением его обеих частей на отличное от нуля число a. Очевидно, корнем уравнения x2=0 является нуль, так как 02=0. Других корней это уравнение не имеет, что объясняется свойствами степени, действительно, для любого отличного от нуля числа p имеет место неравенство p2>0, откуда следует, что при p≠0 равенство p2=0 никогда не достигается.
Итак, неполное квадратное уравнение a·x2=0 имеет единственный корень x=0.
В качестве примера приведем решение неполного квадратного уравнения −4·x2=0. Ему равносильно уравнение x2=0, его единственным корнем является x=0, следовательно, и исходное уравнение имеет единственный корень нуль.
Краткое решение в этом случае можно оформить следующим образом: −4·x2=0, x2=0, x=0.

в которых коэффициент b равен нулю, а c≠0, то есть, уравнения вида a·x2+c=0. Мы знаем, что перенос слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, а также деление обеих частей уравнения на отличное от нуля число дают равносильное уравнение. Поэтому можно провести следующие равносильные преобразования неполного квадратного уравнения a·x2+c=0:
перенести c в правую часть, что дает уравнение a·x2=−c,
и разделить обе его части на a, получаем x2 =-с/а

квадратных уравнений при c=0. Неполные квадратные уравнения вида a·x2+b·x=0 позволяет решить метод разложения на множители. Очевидно, мы можем разложить на множители многочлен, находящийся в левой части уравнения, для чего достаточно вынести за скобки общий множитель x. Это позволяет перейти от исходного неполного квадратного уравнения к равносильному уравнению видаx·(a·x+b)=0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x=0 и a·x+b=0, последнее из которых является линейным и имеет корень x=−b/a.
Итак, неполное квадратное уравнение a·x2+b·x=0 имеет два корня x=0 и x=−b/a.
Для закрепления материала разберем решение конкретного примера.

уравнения
Возможны 3 случая:
1. D > 0. Тогда уравнение имеет 2 различных корня:,.
2x2 + 7x - 4 = 0.
a = 2, b = 7, c = -4.
D = 7^2 – 4 *2* (-4) = 81 > 0.
2. D = 0. Тогда уравнение имеет единственный корень:
x2 - 4x + 4 = 0.
D = (-4) ^2 – 4 *1* 4 = 0. 

3. D < 0. Тогда уравнение не имеет корней, т. к. не существует. 3x2 - x + 7 = 0.
D = (-1) ^2 – 4 *3* 7 = -83 < 0, значит корней нет. 

−3; D = (−2)2 − 4 · 1 · (−3) = 16.
D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их: X1,2=3,-1
Второе уравнение: 15 − 2x − x2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15; D = (−2)2 − 4 · (−1) · 15 = 64.
D > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их: X1,2=-5,3
Наконец, третье уравнение: x2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36; D = 122 − 4 · 1 · 36 = 0.
D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:x=-6

5x2-26x=0.
Решение. Вынесем общий множитель х за скобки:
х(5х-26)=0; каждый множитель может быть равным нулю:
х=0 или 5х-26=0 → 5х=26, делим обе части равенства на 5 и получаем: х=5,2.
Ответ: 0; 5,2.

64x+4x2=0.

Решение. Вынесем общий множитель 4х за скобки:
4х(16+х)=0. У нас три множителя, 4≠0, следовательно, или х=0 или 16+х=0. Из последнего равенства получим х=-16.
Ответ: -16; 0.

2х2 ‒ 32 = 0.

Решение.
2х2 = 32
х2 = 32:2
х2 = 16
х = ± 4
Ответ: х1 = ‒ 4, х2 = 4.

2х2 + 8 = 0.

Решение.
2х2 = ‒ 8
х2 = ‒ 8:2
х2 = ‒ 4
Ответ: решений нет

3x2 -27=0
3 x2 =27
X2 =27:3
X2 =9
х1,2 =3;-3
Ответ:3;-3

7х2 = 0.

Решение. 7х2 = 0.
х2 = 0
х1,2 = 0
Ответ: х1, 2 = 0.

4x2 = 0

Решение. 4x2 = 0
x2 = 0
x = 0
Ответ:0

10x2 = 0

Решение. 10x2 = 0
x2 = 0
x = 0
Ответ:0

-8x2 = 0

Решение. -8x2 = 0
x2 = 0
x = 0
Ответ:0

-1/2x2 = 0

Решение. -1/2x2 = 0
x2 = 0
x = 0
Ответ:0

-6x2 = 0

Решение. -6x2 = 0
x2 = 0
x = 0
Ответ:0

x2-49=0.
Решение. 
x2=49, отсюда x=±7.
Ответ: -7; 7.
3x2 – 48 = 0
3x2 = 48
x2 = 16
x1 = 4;  x2 = - 4
Ответ:4;-4
3x2 + 48 = 0
3x2 = - 48
x2 = - 16
решений нет
Ответ: решений нет

2

2х2 ‒ 32 = 0.
Решение
2х2 = 32
х2 = 32:2
х2 = 16
х = ± 4
Ответ: х1 = ‒ 4, х2 = 4.
2х2 + 10 = 0.
Решение
2х2 = ‒ 10
х2 = ‒ 10:2
х2 = ‒ 5
Ответ: уравнение решений не имеет.

5x2-26x=0.
Решение. Вынесем общий множитель х за скобки:
х(5х-26)=0; каждый множитель может быть равным нулю:
х=0 или 5х-26=0 → 5х=26, делим обе части равенства на 5 и получаем: х=5,2.
Ответ: 0; 5,2.
 64x+4x2=0.
Решение. Вынесем общий множитель 4х за скобки:
4х(16+х)=0. У нас три множителя, 4≠0, следовательно, или х=0 или 16+х=0. Из последнего равенства получим х=-16.
Ответ: -16; 0.
7x2 + 14x =0
7x(x + 2) = 0
x1 = 0;  x2 = -2
Ответ:0;-2

2

3х2 ‒ 12х = 0.
Решение
х(3х ‒ 12) = 0
х= 0 или 3х – 12 = 0
3х = 1
 х = 12/3
 х = 4
Ответ: х1 = 0, х2 = 4.

2x2-7x-15=0
Решение. Найдем корни квадратного уравнения: 2x2-7x-15=0.
a=2; b=-7; c=-15. Это общий случай для полного квадратного уравнения. Находим дискриминант D.
D=b2-4ac=(-7)2-4∙2∙(-15)=49+120=169=132>0; 2 действительных корня.
Найдем корни X1,2 =-1,5; 5
2x2+5x-3=0. 
Решение. a=2; b=5; c=-3.
D=b2— 4ac=52-4∙2∙(-3)=25+24=49=72>0; 2 действительных корня.
Найдем корни X1,2 =-3;1/2
4x2+21x+5=0.
Решение. a=4; b=21; c=5.
D=b2— 4ac=212— 4∙4∙5=441-80=361=192>0; 2 действительных корня.
Найдем корни X1,2 = -5; -1/4

2

−4·x2+28·x−49=0.
Решение.
D=282−4·(−4)·(−49)=784−784=0
Найдем х=3.5
Ответ:3.5
x2+x–6=0 .  
Здесь   a = 1 ,   b   =   1 ,   c = – 6 ,   D   =     b 2 – 4ac     =   1   –   4 • 1 • (–6)   =   25 .   D > 0 ,   значит уравнение имеет два корня :   x 1=2 ,  x 2  =  –3 .  
О т в е т :   x 1  =  2 , x 2   = –3 .