Презентация, доклад по математике на тему Исследование функций , 10 класс

т.е множество значений х, для которых можно вычислить у, если функция задана формулой. Обозначение: D(y)
Область значений функции: или множество значений функции. Обозначение : E(f)
Точки пересечения с осями координат: Ордината точки пересечения с 0У находится из условия y=f(0). Абсциссы точек пересечения с осью ОХ (нули функции) находятся из условия f(x)=0

четной функции симметричен относительно ОУ.








Область определения нечетной функции – интервал оси Х, симметричный относительно точке 0.
График нечетной функции симметричный относительно начала координат.
Функция, не являющаяся ни четной, ни нечетной, называется функцией общего положения.

4.Четные, нечетные функции и функции общего положения:

y=f(x) –
Четная

<опр.>

f(-x)=f(x)

y=f(x) –
Нечетная

<опр.>

f(-x)=-f(x)

-х

х

f(-x) f(x)

0

-х

х

f(-x)

f(x)

x

y

y

x

0

всех x Є (a;b)

x

x

y

y

T

x

x+T

M

a

b

-M

0

0

точка, в которой функция не определена, но определена в окрестности этой точки.
Виды точек разрыва.

x0

A

x

y

0

|. X0 – точка устранимого разрыва;

x0

A

x

y

0

||. X0 – точка конечного разрыва;

f(x0) – не существует;
lim f(x)=lim f(x)=A

x→x0-0

x→x0+0

lim f(x)=A

lim f(x)=B, B=A

x→x0-0

x→x0+0

М графика до прямой →o при удалении точки М по кривой в бесконечность.

Если f(x) м. представить в виде f(x)=kx+b+ α(x), где α(x)→0, когда α →∞, то прямая y=kx+b является асимптотой: при k=0 – горизонтальной, а при k ≠0 – наклонной.
График функции может иметь вертикальные асимптоты в точках разрыва (бесконечного) или на границах области определения функции.

8. Асимптоты графика функции

x

y

0

d

b

M

x

0

x

0

x

0

x0

y0

x→x0

x→∞

f(x)

x

x→∞

x→∞

на интервале (a;b)

x1
f(x1)>f(x2)
Для любого x1,x2 Є(a;b)

f’(x)>0 для любого xЄ (a;b)

f’(x)<0 для любого xЄ (a;b)

Функция возрастает на интервале (a;b)

Функция убывает на интервале (a;b)

<опр.>

<опр.>

ЕСЛИ

ЕСЛИ

ТО

ТО

Достаточные признаки возрастания и убывания функции:

интервале (a;b)

f(x0)>f(x)

f(x0)

10. Точки экстремума

x>x0

f’(x)=0 (или не существует)
f’(x)<0; f’(x)>0
xx0

Точка -x0 точка максимума

Точка – x0 точка минимума

y

0

0

0

0

любой своей касательной

Кривая вогнута на (а; в)

<опр.>

<опр.>

Кривая расположена выше любой, своей касательной

а

в

а

в

на интервале (а; b) в зависимости от знаков 1 и 2 производных

Достаточные признаки выпуклости и вогнутости.

f’’(x0)>0 на (a; b)

Кривая вогнута на (a; b)

f’’(x0)<0 на (a; b)

Кривая выпукла на (a; b)

0

0

0

0

существованием производной в точке X0 и существованием касательной к графику функции в точке (х0;f(x0)).

x

y

x0

Точка перегиба (Х0; f(Х0) )

В точке (Х0; f(Х0) ) существует касательная при переходе через эту точку меняется выпуклость на вогнутость (или наоборот)

<опр.>

f(x0 )

Достаточный признак точки перегиба

В точке (Х0; f(Х0) ) существует касательная y’’(x0)=0 (или не существует) и
при переходе через точку х0 y’’ меняет знак

(Х0; f(Х0) ) – точка перегиба

0