Презентация, доклад по математике на тему Гомотетия

МОУ СОШ №32

Руководитель: Стаханова П.А.,
учитель математики МОУ СОШ №32

Исследовательская работа

при решении задач.

Методы исследования:
Изучение теории
Доказательства некоторых свойств гомотетии
Установление связи между гомотетией и решением задач
Выполнение практической части

гомотетии.
2. Применение опыта решения планиметрических задач
с использованием гомотетии помогает повысить
уровень пространственного воображения
и уровень логической культуры.
3. Изучение данной темы поможет более глубоко
подготовиться к вступительным экзаменам и успешному
участию в математических конкурсах и олимпиадах.

Актуальность

каждую точку X отображает на такую точку ,
что

т. совпадает с точкой Х. Тождественное преобразование плоскости.

k= -1.
Т. симметрична точке Х относительно центра гомотетии. Симметрия относительно точки О.



т.к.
Центр гомотетии является ее неподвижной точкой.

одной прямой с центром гомотетии, и отрезок, соединяющий образы этих точек, параллельны.

ей прямую.

все расстояния умножаются на одно и то же число – модуль коэффициента гомотетии.

любой заданной фигуре, притом с любым положительным коэффициентом подобия. Впервые он был создан вначале XVII века.

Гомотетия чаще всего используется в задачах на нахождение ГМТ
С помощью гомотетии можно строить подобные фигуры
С помощью гомотетии можно находить отношение отрезков, площадей, объемов

являются вершинами некоторого квадрата.

L - середины сторон квадрата АВСD соответственно.

Построим Р1, Р2, Р3 и Р4 - точки симметричные т. Р относительно середин АВ, ВС, СD, DA.
Докажем, что Р1Р2Р3Р4 – квадрат.

PK, PL соответственно, то Р1, Р2, Р3 и Р4 гомотетичны M, N, K, L относительно P с коэффициентом 2,
т. к. РР1 = 2РМ, РР2 = 2РN, PP3 = 2PK, PP4 = 2PL
и т. к. MNKL - квадрат, то Р1P2P3P4 - тоже квадрат.

Что и требовалось доказать.

точках пересечения медиан данной пирамиды.

медиан граней соответственно BCD , ACD , ABD и ABC треугольной пирамиды ABCD . Тогда отрезки AA1 , BB1 , CC1 и DD1 (медианы тетраэдра) пересекаются в одной точке (M) и делятся ею в отношении 3:1, считая от вершин пирамиды. Поэтому при гомотетии относительно точки M с
коэффициентом 1/3 - точка A
переходит в точку A1 , точка B – в точку B1 , C – в C1 , D – в D1 . Значит, тетраэдр A1B1C1D1 подобен тетраэдру ABCD с коэффициентом 1/3. Следовательно,
VA1B1C1D1 =(1/3)3· VABCD = .

и центр O описанной окружности лежат на одной прямой, причем .

т. Н – ортоцентр, т. О – центр описанной окружности; .
Доказать: т. G, H, O лежат на одной прямой и

при

2. Соответственные стороны этих треугольников параллельны

содержат высоты . Гомотетия сохраняет величину
угла, высоты AH, BH, CH указанной гомотетией отображаются на высоты
, т. H пересечения
высот переходит в
т. O пересечения высот
. Поэтому точки H
и O лежат на одной прямой с центром G гомотетии и
.

Что и требовалось доказать.

применения гомотетии, а также помог повысить наш уровень пространственного воображения и уровень логической культуры.
2. Решение практических задач показало, что многие задачи, даже очень сложные, можно решить с помощью гомотетии, сэкономив при этом и время, и силы.
3. Мы узнали много нового и интересного, работая над данной темой. Это действительно занимательно и увлекательно. Надеемся, что эта тема пригодится нам в будущем при участии в математических олимпиадах и при ЕГЭ

и, по крайней мере, столь же обширной, как анализ, геометрия в большей степени чем любой другой раздел математики, является богатейшей сокровищницей интереснейших, но полузабытых вещей, которыми спешащее поколение не имеет времени насладиться».
Е. Т. Белл.

Заключение