Презентация, доклад по математике на тему Экстремум

Содержание

Точка х1 называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности точки х1 выполняется неравенствоЗначения функции в точках х0 и х1называются соответственномаксимумом и минимумом функции. Максимум и минимум функции называетсяэкстремумом функции.

Слайд 19.3. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ

Точка х0 называется точкой максимума функции f(x), если

в некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство


9.3. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ Точка х0 называется точкой максимума функции f(x), если в некоторой окрестности точки х0 выполняется

Слайд 2
Точка х1 называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности

точки х1 выполняется неравенство


Значения функции в точках х0 и х1
называются соответственно
максимумом и минимумом функции.

Максимум и минимум функции называется
экстремумом функции.

Точка х1 называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности точки х1 выполняется неравенствоЗначения функции в

Слайд 3
max
min
max

max min max

Слайд 4На одном промежутке функция может иметь несколько экстремумов, причем может быть,

что минимум в одной точке больше максимума в другой.

Максимум или минимум функции на некотором промежутке не являются в общем случае наибольшим и наименьшим значением функции.

Если в некоторой точке х0 дифференцируемая функция f(x) имеет экстремум, то в некоторой окрестности этой точки выполняется теорема Ферма и производная функции в этой точке равна нулю:


На одном промежутке функция может иметь несколько экстремумов, причем может быть, что минимум в одной точке больше

Слайд 5Однако, функция может иметь экстремум в точке, в которой она не

дифференцируема.

Например, функция

имеет минимум в точке

но она в этой точке не дифференцируема.

Однако, функция может иметь экстремум в точке, в которой она не дифференцируема.Например, функцияимеет минимум в точке но

Слайд 6Для того, чтобы функция y=f(x) имела
экстремум в точке х0 , необходимо,

чтобы
ее производная в этой точке равнялась
нулю или не существовала.


необходимое условие экстремума:

Для того, чтобы функция y=f(x) имелаэкстремум в точке х0 , необходимо, чтобыее производная в этой точке равняласьнулю

Слайд 7Точки, в которых выполняется необходимое
условие экстремума, называются
критическими или стационарными.
Т.об., если в

какой-либо точке имеется экстремум, то эта точка является критической.

Но критическая точка не обязательно является точкой экстремума.

Точки, в которых выполняется необходимоеусловие экстремума, называютсякритическими или стационарными.Т.об., если в какой-либо точке имеется экстремум, то эта

Слайд 8Найти критические точки и экстремумы
функций:
1


Примеры

Найти критические точки и экстремумыфункций:1Примеры

Слайд 9Решение:
Применим необходимое условие экстремума:

- критическая точка

Решение: Применим необходимое условие экстремума:- критическая точка

Слайд 12Решение:
Применим необходимое условие экстремума:

- критическая точка

Решение: Применим необходимое условие экстремума:- критическая точка

Слайд 14Если при переходе через точку х0 производная
дифференцируемой функции y=f(x)меняет
знак

с плюса на минус, то х0 есть точка
максимума, а если с минуса на плюс, то х0
есть точка минимума.


первое достаточное условие экстремума

Если при переходе через точку х0 производная дифференцируемой функции y=f(x)меняет знак с плюса на минус, то х0

Слайд 15Доказательство:
Пусть производная меняет знак с плюса на минус, т.е. на

некотором интервале

а на некотором интервале

Тогда функция y=f(x) будет возрастать на

Доказательство: Пусть производная меняет знак с плюса на минус, т.е. на некотором интервалеа на некотором интервалеТогда функция

Слайд 16и будет убывать на
По определению возрастающей функции
Для убывающей функции



-точка максимума.

Аналогично доказывается для минимума.


и будет убывать на По определению возрастающей функции Для убывающей функции -точка максимума.Аналогично доказывается для минимума.

Слайд 171

Найти производную функции
2

Найти критические точки функции, в которых производная равна нулю

или не существует.


схема исследования функции на экстремум

1Найти производную функции2Найти критические точки функции, в которых производная равна нулю или не существует.схема исследования функции на

Слайд 183

Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки.
4

Найти экстремум

функции.
3Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки.4Найти экстремум функции.

Слайд 19Исследовать функцию на экстремум:


Пример

Исследовать функцию на экстремум:Пример

Слайд 20Решение:
Применим схему исследования функции на экстремум:
1
Находим производную функции:

Решение: Применим схему исследования функции на экстремум:1Находим производную функции:

Слайд 212
Находим критические точки:

критические точки

2Находим критические точки:критические точки

Слайд 22
3
Исследуем знак производной слева и справа от каждой критической точки:



min
В

точке х=1 экстремума нет.
3Исследуем знак производной слева и справа от каждой критической точки:min В точке х=1 экстремума нет.

Слайд 234
Находим экстремум функции:

4Находим экстремум функции:

Слайд 24Если первая производная дифференцируемой
функции y=f(x) в точке х0 равна нулю,

а
вторая производная в этой точке
положительна, то х0 есть точка
минимума, а если вторая производная
отрицательна, то х0 есть точка максимума.


второе достаточное условие экстремума:

Если первая производная дифференцируемой функции y=f(x) в точке х0 равна нулю, а вторая производная в этой точке

Слайд 25Доказательство:
Пусть
следовательно
и в некоторой окрестности точки х0, т.е.

Доказательство: Пусть следовательнои в некоторой окрестности точки х0, т.е.

Слайд 26функция
будет возрастать на
содержащем точку х0.
Но

на интервале
а на интервале

функциябудет возрастать на содержащем точку х0.Но на интервалеа на интервале

Слайд 27Таким образом, функция
при переходе через точку х0 меняет знак с минуса

на плюс, следовательно эта точка является точкой минимума.

Аналогично доказывается случай для максимума функции.


Таким образом, функцияпри переходе через точку х0 меняет знак с минуса на плюс, следовательно эта точка является

Слайд 28Схема исследования функции на экстремум в этом случае аналогична предыдущей, но

третий пункт следует заменить на:

3


Найти вторую производную и определить ее знак в каждой критической точке.

Схема исследования функции на экстремум в этом случае аналогична предыдущей, но третий пункт следует заменить на:3Найти вторую

Слайд 29Из второго достаточного условия следует, что если в критической точке вторая

производная функции не равна нулю, то эта точка является точкой экстремума.

Обратное утверждение не верно: если в критической точке вторая производная функции равна нулю, то эта точка также может являться точкой экстремума.

В этом случае для исследования функции необходимо использовать первое достаточное условие экстремума.

Из второго достаточного условия следует, что если в критической точке вторая производная функции не равна нулю, то
Скачать презентацию

Похожие презентации

Презентация по математике на тему Теорема Виета (8 класс) Презентация по математике на тему Теорема Виета (8 класс) 174
Презентация по алгебре на тему Арифметическая и геометрическая прогресии Презентация по алгебре на тему Арифметическая и геометрическая прогресии 192
Презентация по математике на тему: М.Лобачевский Презентация по математике на тему: М.Лобачевский 214
Презентация по алгебре 8 классна тему: Квадратные уравнения и его корни,урок- игра Презентация по алгебре 8 классна тему: Квадратные уравнения и его корни,урок- игра 218
Презентация Информационные технологии в среде Решу ОГЭ Презентация Информационные технологии в среде Решу ОГЭ 195
Уравнения Обобщающее повторение (11 класс) Уравнения Обобщающее повторение (11 класс) 225

Что такое shareslide.ru?

Это сайт презентаций, где можно хранить и обмениваться своими презентациями, докладами, проектами, шаблонами в формате PowerPoint с другими пользователями. Мы помогаем школьникам, студентам, учителям, преподавателям хранить и обмениваться учебными материалами.

Для правообладателей

Яндекс.Метрика

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть