- Главная
- Разное
- Образование
- Спорт
- Естествознание
- Природоведение
- Религиоведение
- Французский язык
- Черчение
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, фоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
Презентация, доклад по математике на тему ЕГЭ Задача № 19-теория чисел часть 1 (11 класс)
Содержание
- 1. Презентация по математике на тему ЕГЭ Задача № 19-теория чисел часть 1 (11 класс)
- 2. Почему же задача №19 считается (и, в
- 3. Делимость. Признаки делимостиДеление с остаткомКаноническое разложение числаВзаимно простые числаНеобходимая теория
- 4. Числовые множества2
- 5. Натуральные и целые числа1, 2, 3, 4,
- 6. Обозначения Факториал: n! = 1 ∙ 2
- 7. Простейшие примеры
- 8. Делимость натуральных чиселДля двух натуральных чисел m
- 9. 1о Если m ⋮ k и k
- 10. 3о Если m ⋮ n и m
- 11. 7о Если m ⋮ n и k
- 12. Свойства делимости10о Если mn ⋮ p (где
- 13. На 2: необходимо и достаточно, чтобы последняя
- 14. ЧетностьОпределение. Число называется чётным, если оно делится
- 15. Признаки делимостиДля того, чтобы натуральное число делилосьНа
- 16. На 4: необходимо и достаточно, чтобы делилось
- 17. На 125: необходимо и достаточно, чтобы делилось
- 18. На 11: необходимо и достаточно, чтобы знакочередующаяся
- 19. Признаки делимостиДля того чтобы натуральное число делилосьНа
- 20. Признаки делимостиилиДля того чтобы натуральное число делилосьНа
- 21. Какие цифры можно вставить вместо звёздочек в
- 22. Простые числа Если натуральное число имеет только
- 23. Cоставные числа Если натуральное число имеет более
- 24. Простейшие примеры
- 25. Решение: а) р2 имеет три делителя: 1;
- 26. Основная теорема арифметикиВсякое число можно разложить на
- 27. Натуральные числа от 1 до 10 разбили
- 28. Дано трёхзначное натуральное число (число не может
- 29. Дано трёхзначное натуральное число (число не может
- 30. Деление с остаткомa = bq + ra
- 31. Простейшие примеры
- 32. Простейшие примеры
- 33. Простейшие примерыДокажите, что число 1000…..0004 (между
- 34. Простейшие примеры
- 35. 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12,
- 36. Разложим число 72 на простые множители:Наибольший общий
- 37. Взаимно простые числаДва натуральных числа a и
- 38. 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126,
- 39. Разложим число 12 на простые множители:12 =
- 40. Простейшие примеры3780 = 22 ∙ 33 ∙
- 41. 3780 = 2 ∙ 2 ∙ 3
- 42. Слайд 42
Слайд 2Почему же задача №19 считается
(и, в общем-то, является) самой сложной
Она нестандартна.
Она требует математической культуры — умения грамотно строить рассуждения.
Учиться культурно рассуждать можно и обязательно нужно.
Задача №19 предоставляет для этого отличную возможность.
Надо мыслить
нестандартно
Слайд 3Делимость. Признаки делимости
Деление с остатком
Каноническое разложение числа
Взаимно простые числа
Необходимая теория
Слайд 5Натуральные и целые числа
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
ряд натуральных чисел N или (Z+)
-1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9, -10, -11, … –
ряд противоположных натуральным чисел Z–
…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, … –
ряд целых чисел Z (Z+ и Z– и 0)
Слайд 6Обозначения
Факториал: n! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4
Примеры: 6! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 = 720
2! = 1 ∙ 2 = 2
1! = 1
0! = 1
Слайд 8Делимость натуральных чисел
Для двух натуральных чисел m и n если существует
m – делимое
n – делитель
k – частное
m : n = k
Слайд 91о Если m ⋮ k и k ⋮ n, то m
2о Если m ⋮ k и k ⋮ n, то (m ± k) ⋮ n.
(по умолчанию m > k)
Пример: 108 ⋮ 9 и 9 ⋮ 3, то 108 ⋮ 3.
Пример: 44 ⋮ 4 и 12 ⋮ 4, то (44 + 12) ⋮ 4.
Следствие из 2о Если m ⋮ n и k не делится на n, то (m ± k) не делится на n.
Пример: 63 ⋮ 3 и 22 не делится на 3, то (63 + 22) не делится на 3.
Свойства делимости
Слайд 10
3о Если m ⋮ n и m ⋮ k (где n
4о Если m ⋮ n и (m + k) ⋮ n, то k ⋮ n.
5о Если m ⋮ n и k ⋮ p, то mk ⋮ np.
Пример: 48 ⋮ 3 и (48 + 57) ⋮ 3, то 57 ⋮ 3.
Пример: 81 ⋮ 3 и 56 ⋮ 4, то (81∙56) ⋮ (3∙4).
Свойства делимости
Пример: 88 ⋮ 11 и 88 ⋮ 4, то 88 ⋮ (11∙4).
Слайд 117о Если m ⋮ n и k N, то mk
8о Если m ⋮ n и k ⋮ n, то для любых p, l N
следует (mp + kl) ⋮ n.
Пример: 48 ⋮ 3 и 13 N, то (48∙13) ⋮ 3.
Пример: 81 ⋮ 9 и 54 ⋮ 9, то (81∙17 + 54∙28) ⋮ 9.
Свойства делимости
6о Если m ⋮ n и k N, то mk ⋮ nk, и наоборот.
Пример: 48 ⋮ 12 и 11 N, то (48∙11) ⋮ (12∙11), и обратно.
Слайд 12Свойства делимости
10о Если mn ⋮ p (где р-простое), то либо m
Пример: 176 = 8∙22 ⋮ 11 Очевидно, 22 ⋮ 11
9о Среди n последовательных натуральных
чисел одно и только одно делится на n.
Пример: среди трех последовательных натур. чисел 111, 112, 113 только одно делится на 3. (111 ⋮ 3)
Слайд 13На 2: необходимо и достаточно, чтобы последняя цифра числа делилась на
Пример: 56738 ⋮ 2 т.к. 8 ⋮ 2.
Признаки делимости
Для того, чтобы натуральное число делилось
Слайд 14Четность
Определение. Число называется чётным, если оно делится на 2. Число называется
Все чётные числа: 0; ± 2; ± 4; ± 6; … вид a = 2n
Все нечётные числа: ± 1; ± 3; ± 5; … вид a = 2n + 1
Сумма любого числа чётных слагаемых чётна.
Сумма чётного числа нечётных слагаемых чётна.
Сумма нечётного числа нечётных слагаемых нечётна.
Пусть имеется произведение нескольких множителей. Если все множители нечётны, то произведение нечётно. Если хотя бы один множитель чётный, то произведение чётно.
Слайд 15Признаки делимости
Для того, чтобы натуральное число делилось
На 5: необходимо и достаточно,
Пример: 56735 ⋮ 5 т.к. 5 ⋮ 5.
На 10: необходимо и достаточно, чтобы последняя цифра числа была 0.
Пример: 56730 ⋮ 10.
Слайд 16На 4: необходимо и достаточно, чтобы делилось на 4 число, образованное
Пример: 56736 ⋮ 4, т.к. 36 ⋮ 4.
Признаки делимости
Для того, чтобы натуральное число делилось
На 25: необходимо и достаточно, чтобы делилось на 25 число, образованное двумя последними цифрами.
Пример: 56775 ⋮ 25, т.к. 75 ⋮ 25.
На 8: необходимо и достаточно, чтобы делилось на 8 число, образованное тремя последними цифрами.
Пример: 56120 ⋮ 8, т.к. 120 ⋮ 8.
Слайд 17На 125: необходимо и достаточно, чтобы делилось на 125 число, образованное
Пример: 56375 ⋮ 125, т.к. 375 ⋮ 125.
Признаки делимости
Для того, чтобы натуральное число делилось
На 3: необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 3.
Пример: 56742 ⋮ 3, т.к. (5+6+7+4+2) ⋮ 3.
На 9: необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 9.
Пример: 56545 ⋮ 9, т.к. (5+6+7+4+5) ⋮ 9.
Слайд 18На 11: необходимо и достаточно, чтобы знакочередующаяся сумма его цифр делилась
Термин «знакочередующаяся» означает, что первое слагаемое суммы берётся со знаком «плюс», второе — со знаком «минус», третье — опять со знаком «плюс» и т.д. То есть знаки перед слагаемыми чередуются.
Пример: 8637519 ⋮ 11, т.к. (8-6+3-7+5-1+9)=11 ⋮ 11.
Признаки делимости
Для того чтобы натуральное число делилось
Слайд 19Признаки делимости
Для того чтобы натуральное число делилось
На 7 (на 13): необходимо
Трёхзначные грани числа — это числа, которые получены разбиением исходного числа на трёхзначные числа. Например, разбиение числа 1234567890 на трёхзначные грани выглядит так:
1 234 567 890 (разбиение числа начинается с его конца).
Пример: 254 390 815 ⋮ 7⇒ (254-390+815)=679 ⋮ 7
5 964 296 ⋮ 13 ⇒ (5-964+296) = -663 ⋮ 13
Слайд 20Признаки делимости
или
Для того чтобы натуральное число делилось
На 7: необходимо и достаточно,
Слайд 21Какие цифры можно вставить вместо звёздочек в записи 35*4*, чтобы полученное
Решение: Число 35*4* делится на 45, значит делится на 5 и на 9.
Отсюда последняя цифра числа 35*4* - 0 или 5.
Если последняя цифра числа 35*4* - 0, и сумма цифр этого числа должна делиться на 9, то 3 + 5 + * + 4 + 0 = 12 + * . Для * возможен один вариант – цифра 6, тогда искомое число – 35640.
Если последняя цифра числа 35*4* - 5, и сумма цифр этого числа должна делиться на 9, то 3 + 5 + * + 4 + 5 = 17 + * . Для * возможен один вариант – цифра 1, тогда искомое число – 35145.
Простейшие примеры
Слайд 22Простые числа
Если натуральное число имеет только два делителя – само
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, … – простые числа.
1. Любое, натуральное число а > 1 имеет хотя бы один простой делитель.
2. Множество простых чисел бесконечно.
3. Расстояние между двумя соседними простыми числами может быть больше любого наперед заданного натурального числа.
Слайд 23Cоставные числа
Если натуральное число имеет более двух делителей, то его
1 не является ни простым, ни составным числом.
4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, … – составные числа
Основная теорема арифметики. Любое натуральное число (кроме 1) либо является простым, либо его можно разложить на простые множители.
Примеры: 210 = 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7; 56 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 7.
Слайд 25Решение: а) р2 имеет три делителя: 1; р; р2;
б) р3
Простейшие примеры
Слайд 26Основная теорема арифметики
Всякое число можно разложить на простые множители.
Такое разложение
Слайд 27Натуральные числа от 1 до 10 разбили на 2 группы так,
А теперь задачи уровня ЕГЭ…
Слайд 28Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 82?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 83?
А теперь задачи уровня ЕГЭ…
Слайд 29Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не
в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
А теперь задачи уровня ЕГЭ…
Слайд 30Деление с остатком
a = bq + r
a – делимое
b – делитель
Пример:
а = 37, b = 15, тогда 37 = 15 ∙ 2 + 7;
где q = 2, r = 7.
q – неполное частное
r – остаток
Замечание. Если а ⋮ b, то можно считать, что r = 0.
Слайд 33Простейшие примеры
Докажите, что число 1000…..0004 (между 1 и 4 стоит
Слайд 351, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48,
Делители числа 72:
Наибольший общий делитель (НОД)
1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72
Делители числа 96:
Среди них есть одинаковые:
Их называют общими делителями чисел 72 и 96, а
наибольшее из них называют наибольшим общим
делителем (НОД) чисел 72 и 96.
Найти НОД чисел: 72 и 96.
НОД (72; 96) = 24
1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 24
Слайд 36Разложим число 72 на простые множители:
Наибольший общий делитель (НОД)
72 = 2
Найти НОД чисел: 72 и 96.
Разложим число 96 на простые множители:
96 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 25 ∙ 3
НОД (72; 96) = 23 ∙ 3 = 24
Слайд 37Взаимно простые числа
Два натуральных числа a и b называют взаимно простыми
Пример: 35 и 36 взаимно простые числа,
т.к. НОД (35; 36) = 1.
Свойства взаимно простых чисел:
Пусть числа a и b взаимно просты. Тогда справедливы следующие утверждения.
1. Если некоторое число делится на a и b, то оно делится и на их произведение ab.
2. Если an делится на b, то n делится на b.
Слайд 3818, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, …
Кратные числа 12:
Наименьшее
12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, …
Кратные числа 18:
Среди них есть одинаковые:
Их называют общими кратными чисел 12 и 18, а
наименьшее из них называют наименьшим общим
кратным (НОК) чисел 12 и 18.
Найти НОК чисел: 12 и 18.
НОК (12; 18) = 36
36, 72, 108, 144, …
Слайд 39Разложим число 12 на простые множители:
12 = 2 ∙ 2 ∙
Найти НОК чисел: 12 и 18.
Разложим число 18 на простые множители:
18 = 2 ∙ 3 ∙ 3 = 2 ∙ 32
НОК (12; 18) = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 = 22 ∙ 32 = 36
Наименьшее общее кратное (НОК)
Слайд 40Простейшие примеры
3780 = 22 ∙ 33 ∙ 5 ∙ 7
2
2
3
3
3
5
7
3780
1890
945
105
35
7
1
2
2
2
2
3
3
7
7
7056
3528
1764
882
441
147
49
7
1
7056 = 24 ∙ 32 ∙ 72
Найдите канонические разложения чисел 3780 и 7056.
Слайд 413780 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3
7056 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 7 ∙ 7 = 24 ∙ 32 ∙ 72
НОД (3780; 7056) = 22 ∙ 32 ∙ 7 = 252
НОК (3780; 7056) = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 ∙2 ∙ 2 ∙ 7
НОК (3780; 7056) = 24 ∙ 33 ∙ 5 ∙ 72 = 105840
Найдите НОД (3780; 7056) и НОК(3780; 7056)
Простейшие примеры
