Презентация, доклад по математике Функции и их графики

следующим образом. Пусть заданы два множества X и Y. Если каждому элементу x из множества X поставлен в соответствие элемент y = f(x) множества Y, то говорят, что на множестве X задана функция f. При этом элемент x называется независимой переменной, а элемент y — зависимой переменной. В случае, когда x и y являются действительными числами, функцию y = f(x) можно представить в виде графика в декартовой системе координат Oxy.

C, где C – некоторое действительное число. Постоянная функция ставит в соответствие каждому действительному значению независимой переменной x одно и то же значение зависимой переменной y – значение С. Постоянную функцию также называют константой.
Графиком постоянной функции является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку с координатами (0,C). Для примера покажем графики постоянных функций y=5, y=-2 и y равно кубическому корню из трех, которым на рисунке, приведенном ниже, отвечают черная, красная и синяя прямые соответственно.

четной.
Область значений: множество, состоящее из единственного числа С.
Постоянная функция невозрастающая и неубывающая (на то она и постоянная).
Говорить о выпуклости и вогнутости постоянной не имеет смысла.
Асимптот нет.
Функция проходит через точку (0,C) координатной плоскости.

, где n – натуральное число, большее единицы.
Корень n-ой степени, n - четное число.
Начнем с функции корень n-ой степени при четных значениях показателя корня n.
Для примера приведем рисунок с изображениями графиков функций и, им соответствуют черная, красная и синяя линии.
Аналогичный вид имеют графики функций корень четной степени при других значениях показателя.

чисел .
При x=0 функция принимает значение, равное нулю.
Эта функция общего вида (не является четной или нечетной).
Область значений функции: все неотрицательные числа .
Функция, при четных показателях корня возрастает на всей области определения.
Эта функция имеет выпуклость, направленную вверх, на всей области определения, точек перегиба нет.
Асимптот нет.
График функции корень n-ой степени при четных n проходит через точки (0,0) и(1,1).

чисел. Для примера приведем графики функций и, им соответствуют черная, красная и синяя кривые.

функция нечетная.
Область значений функции: множество всех действительных чисел.
Функция при нечетных показателях корня возрастает на всей области определения.
Эта функция вогнутая на промежутке  и выпуклая на промежутке , точка с координатами (0,0) – точка перегиба.
Асимптот нет.
График функции корень n-ой степени при нечетных n проходит через точки (-1,-1), (0,0) и (1,1).

вид графиков степенной функции и свойства степенной функции в зависимости от значения показателя степени.
Начнем со степенной функции с целым показателем a. В этом случае вид графиков степенных функций и свойства функций зависят от четности или нечетности показателя степени, а также от его знака. Поэтому сначала рассмотрим степенные функции  при нечетных положительных значениях показателя a, далее - при четных положительных, далее - при нечетных отрицательных показателях степени, и, наконец, при четных отрицательных a.
Свойства степенных функций с дробными и иррациональными показателями (как и вид графиков таких степенных функций) зависят от значения показателя a. Их будем рассматривать, во-первых, при a от нуля до единицы, во-вторых, при a больших единицы, в-третьих, при a от минус единицы до нуля, в-четвертых, при a меньших минус единицы.
В заключении этого пункта для полноты картины опишем степенную функцию с нулевым показателем.

степени, то есть, при а=1,3,5,….
На рисунке ниже приведены графики степенных функций:

значений: все действительные числа.
Функция нечетная, так как y(-x) = -y(x).
Функция возрастает при любом значении.
Функция выпуклая при неположительных значениях  и вогнутая при неотрицательных (кроме линейной функции).
Точка (0;0) является точкой перегиба (кроме линейной функции).
Асимптот нет.
Функция проходит через точки (-1;-1), (0;0), (1;1).

степени, то есть, при а=2,4,6,….

действительные числа.
Функция четная, так как y(-x) = y(x).
Функция возрастает при неотрицательных значениях функции, убывает при неположительных.
Функция вогнутая при всех действительных значениях.
Точек перегиба нет.
Асимптот нет.
Функция проходит через точки (-1;1), (0;0), (1;1).

равно x в степени a при нечетных отрицательных значениях показателя степени, то есть, при а=-1,-3,-5,

нуля.
При x=0 имеем разрыв второго рода. Следовательно, прямая x=0 является вертикальной асимптотой.
Область значений: все действительные числа, кроме нуля.
Функция нечетная.
Функция убывает при любом значении.
Точек перегиба нет.
Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0.
Функция проходит через точки (-1;-1), (1;1).

нуля.
При x=0 имеем разрыв второго рода. Следовательно, прямая x=0 является вертикальной асимптотой.
Область значений: все положительные числа.
Функция четная
Функция возрастает при отрицательных значениях, убывает при положительных .
Точек перегиба нет.
Горизонтальной асимптотой является прямая y=0.
Функция проходит через точки (-1;1), (1;1).

и меньше единицы.
Обратите внимание! Если a - положительная дробь с нечетным знаменателем, то некоторые авторы считают областью определения степенной функции интервал . При этом оговариваются, что показатель степени a – несократимая дробь. Сейчас авторы многих учебников по алгебре и началам анализа НЕ ОПРЕДЕЛЯЮТ степенные функции с показателем в виде дроби с нечетным знаменателем при отрицательных значениях аргумента. Мы будем придерживаться именно такого взгляда, то есть, будем считать областями определения степенных функций с дробными положительными показателями степени множество.

< 1 .

числа .
Область значений: все неотрицательные числа.
Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
Функция возрастает при неотрицательных значениях.
Функция выпуклая при положительных значениях.
Точек перегиба нет.
Асимптот нет.
Функция проходит через точки (0;0), (1;1).

функцию  с нецелым рациональным или иррациональным показателем a, причем a > 1 .

все неотрицательные числа .
Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
Функция возрастает при неотрицательных значениях .
Функция вогнутая при положительных значениях , если 1 < a < 2 ; при неотрицательных значениях , если a > 2 .
Точек перегиба нет.
Асимптот нет.
Функция проходит через точки (0;0), (1;1).

нуля.
Обратите внимание! Если a - отрицательная дробь с нечетным знаменателем, то некоторые авторы считают областью определения степенной функции интервал . При этом оговариваются, что показатель степени a – несократимая дробь. Сейчас авторы многих учебников по алгебре и началам анализа НЕ ОПРЕДЕЛЯЮТ степенные функции с показателем в виде дроби с нечетным знаменателем при отрицательных значениях аргумента. Мы будем придерживаться именно такого взгляда, то есть, будем считать областями определения степенных функций с дробными дробными отрицательными показателями степени множество  соответственно.

числа.
х=0 является вертикальной асимптотой.
Область значений: все положительные числа.
Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
Функция убывает при положительных значениях.
Функция вогнутая при положительных значениях.
Точек перегиба нет.
Горизонтальной асимптотой является прямая y=0.
Функция проходит через точку (1;1).

положительные числа.
х=0 является вертикальной асимптотой.
Область значений: все отрицательные числа.
Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
Функция убывает при положительных значениях.
Функция вогнутая при положительных значениях.
Точек перегиба нет.
Горизонтальной асимптотой является прямая y=0.
Функция проходит через точку (1;1).

ax , где a > 0 и a не равно 0 принимает различный вид в зависимости от значения основания а. Разберемся в этим.
Сначала рассмотрим случай, когда основание показательной функции принимает значение от нуля до единицы.

все множество действительных чисел: .
Область значений: все положительные числа .
Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть, она общего вида.
Показательная функция, основание которой меньше единицы, убывает на всей области определения.
Функция вогнутая при любых значениях.
Точек перегиба нет.
Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0 при х стремящемся к плюс бесконечности.
Функция проходит через точку (0;1).

> 1.

число.
Область значений: все положительные числа.
Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
Показательная функция, основание которой больше единицы, возрастает при .
Функция вогнутая при любом значении.
Точек перегиба нет.
Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0 при х стремящемся к минус бесконечности.
Функция проходит через точку (0;1).

(x) , где a > 0, a не равно 1 , . Логарифмическая функция определена лишь для положительных значений аргумента.
График логарифмической функции принимает различный вид в зависимости от значения основания а.
Начнем со случая, когда 0 < a < 1.

положительные числа . При х стремящемся к нулю справа, значения функции стремятся к плюс бесконечности.
Область значений: любое число .
Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
Логарифмическая функция убывает на всей области определения.
Функция вогнутая при положительных значениях.
Точек перегиба нет.
Горизонтальных асимптот нет.
Функция проходит через точку (1;0).

При х стремящемся к нулю справа, значения функции стремятся к минус бесконечности.
Областю значений логарифмической функции является все множество действительных чисел.
Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
Функция возрастает при положительных значениях .
Функция выпуклая при положительных значениях.
Точек перегиба нет.
Горизонтальных асимптот нет.
Функция проходит через точку (1;0).

элементарным функциям. Сейчас мы рассмотрим их графики и перечислим свойства.
Тригонометрическим функциям присуще понятие периодичности (повторяемости значений функции при различных значениях аргумента, отличных друг от друга на величину периода f(x + T) = f(x) , где Т - период), поэтому, в список свойств тригонометрических функций добавлен пункт «наименьший положительный период». Также для каждой тригонометрической функции мы укажем значения аргумента, при которых соответствующая функция обращается в ноль.
Теперь разберемся со всеми тригонометрическими функциями по-порядку.