Презентация, доклад по алгебре Уравнение касательной к графику функции (11 класс)

математики МБОУ "Ульяновский городской лицей при УлГТУ"

f(x0)).
Составим уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке (x0; f(x0)).
Уравнение прямой (касательной) имеет вид: y=kx+b (1), где k – угловой коэффициент прямой (касательной).
По геометрическому смыслу производной: kкас= f ′(x0), где x0 – абсцисса точки касания.

f ′(x0).
Получим: y= f ′(x0)·x+b (2).
Точка с координатами (x0; f(x0)) принадлежит касательной, значит её координаты удовлетворяют уравнению касательной, то есть уравнению (2).
Следовательно уравнение касательной (2) принимает вид: f(x0) = f ′(x0) ·x0 +b (3).

- f ′(x0) ·x0 . Подставим это значение во (2) уравнение.
Тогда y= f ′(x0)·x+ f(x0) - f ′(x0) ·x0 .
После преобразования уравнение принимает вид: y= f ′(x0)·(x- x0)+ f(x0).
Это и есть уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке (x0; f(x0)).

абсцисса точки касания
f(x0) – ордината точки касания (значение функции y=f(x) в точке x0)
f ′(x0) – угловой коэффициент касательной (значение производной в точке x0, тангенс угла наклона касательной к оси абсцис)
(x;y) – текущая точка касательной

x0 .

Алгоритм решения:
Известно x0 .
Найти f(x0).
Найти f ′(x).
Найти f ′(x0).
Подставить найденные значения в уравнение касательной y= f ′(x0)·(x- x0)+ f(x0).

Пример 1. y=ln2x, x0=e.
f(x0)= f(e)=ln2e=1
f ′(x)= 2lnx·x-1
f ′(x0)= f ′(e)= 2lne·e-1 = =2e-1
Подставим в уравнение касательной:
y= 2e-1·(x- e)+ 1
y= 2e-1·x-1 – ответ

задача2

задача3

задача4

графика с ординатой y0 .

Алгоритм решения:
Найти x0 из уравнения f(x) =y0.
Далее см. задачу 1 (причем f(x0) известно из условия задачи 2).

Пример 2. y=(3-x)/(x+1), y0=1.
(3-x0)/(x0+1)=1,
то есть x0=1
f ′(x)= -4/(x+1)2
f ′(x0)= f ′(1)= -1
Подставим в уравнение касательной:
y= -1 ·(x- 1)+ 1
y= -x+2 – ответ

осью Ox угол α.

Алгоритм решения:
Найти x0 из уравнения f ′(x0) =tgα.
Далее см. задачу 1 (причем f ′(x0) известно из условия задачи 3 по геометрическому смыслу производной).

Пример 3. y=(x-3)/(x-2), α=45°.
f ′(x)= 1/(x-2)2
tg α= tg45°=1= f ′(x0)
1/(x0-2)2=1,
то есть x0=1, x0=3 (два уравнения касательных)
Подставим в уравнение касательной и получим:
y= x-3, y=x+1 – ответ

y=kx+b.

Алгоритм решения:
Найти x0 из уравнения f ′(x0) =k (kкас=k, так как прямые параллельны).
Далее см. задачу 1 (причем f ′(x0) известно из условия задачи 4 по геометрическому смыслу производной).

Пример 4. y=e2x-1, y=2x+7.
f ′(x)=2e2x-1
kкас=2= f ′(x0)
2e2x-1 =2,
то есть x0=0,5
Подставим в уравнение касательной и получим:
y= 2x – ответ

552.
Никольский: п.5.2, № 5.19 – 5.29 (в), 5.30, 5.31.
Мордкович: № 43.29(в), 43.30(б), 43.32(б), 43.33(а), 43.43(б)

точку А(а;b).

Алгоритм решения:
1. А(а;b) не принадлежит графику функции (проверить, подставив в уравнение функции координаты точки).
2. Составить уравнение касательной к данному графику в точке x0 в общем виде.
3. Подставить в составленное уравнение касательной (п.2.) вместо x и y координаты точки А, затем найти x0 из данного уравнения.
4. Записать уравнение касательной, подставив в общее уравнение касательной (п.2.) найденное значение x0.

Пример 5

точку М(2;-2).

1. М(2;-2) не принадлежит графику y=x2-3x+1, так как 22-3·2+1≠-2.
2. y=(2x0-3)·(x-x0)+x20-3x0+1,
то есть y=(2x0-3)·x - x20+1.
3. М(2;-2) принадлежит касательной, следовательно -2=(2x0-3)·2 - x20+1.
Решив это уравнение, получим: x01=1, x02=3.
4. Если x01=1, то y=(2·1-3)·x - 12+1, y=-x;
если x02=3, то y=(2·3-3)·x - 32+1, y=3x-8.

y=g(x).

Алгоритм решения:
1. Составить уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x01 в общем виде.
2. Составить уравнение касательной к графику функции y=g(x) в точке x02 в общем виде.
3. Составленные уравнения – уравнения одной и той же касательной, следовательно k1=k2, b1=b2. Решив данную систему , найти x01 или x02.
4. Записать уравнение касательной, подставив в общее уравнение касательной (п.1. или п.2.) найденное значение x01 или x02.

Пример 6

y=2x2-x-6 .

1. y=(6x01-5)·(x-x01)+3x201-5x01-2,
то есть y=(6x01-5)·x - 3x201-2.
2. y=(4x02-1)·(x-x02)+2x202-x02-6,
то есть y=(4x02-1)·x - 2x202-6.
3. 6x01-5= 4x02-1 и - 3x201-2= - 2x202-6.
Решив эту систему уравнений, получим: x01=2, x02=2.
4. Если x01=2, то y=(6·2-5)·x - 3·22-2, y=7x-14;
если x02=2, то y=(4·2-1)·x - 2·22-6, y=7x-14.

решения:
1. Составить условие общих точек графика и прямой: f(x0)=kx0+b (1).
2. Составить условие касания графика и прямой: f ′(x0)=k (2).
3. Решить данную систему двух уравнение (1) и (2).
4. Если система имеет решение, то прямая является касательной к графику функции ( x0 - абсцисса точки касания); если система решений не имеет, то прямая не является касательной к графику функции.

Пример 7

графику функции y=lnx?.

1. lnx0=ax0+2.
2. 1/x0=a.
3. Решив эту систему уравнений, получим: lnx0=(1/x0)·x0+2, x0=e3, a=e-3
4. Прямая y=ax+2 является касательной к графику функции y-lnx при a=e-3.

5.32, 5.33, 5.35, 5.36.
Мордкович: № 43.46(б), 43.47, 43.55(а), 43.56 (а), 43.62 (а)