Презентация, доклад по алгебре на тему Извлечение квадратных корней из больших чисел без калькулятора.

Боронилов,
МБОУ «Гимназия № 1», 8 «В» класс

Руководитель: Светлана Ивановна Яновская, учитель математики





г. Находка

квадратных корней, которыми можно будет воспользоваться, не имея под рукой калькулятора.
Задачи:
- Изучить литературу по данному вопросу.
- Рассмотреть особенности каждого найденного способа и его алгоритм.
- Показать практическое применение полученных знаний и оценить степень сложности в использовании различных способов и алгоритмов.

корней без калькулятора.
Методы исследования:
Поиск способов и алгоритмов извлечения квадратных корней из больших чисел без калькулятора.
Сравнение найденных способов.
Анализ полученных способов.

Древнего Вавилона
4. Канадский метод
5. Способ разложения на простые множители
6. Метод вычетов нечётного числа
7. Метод подбора угадыванием (метод оценки)
8. Метод отбрасывания полного квадрата
9. Извлечение квадратного корня уголком
10. Практическая часть. Диаграммы анкетирования среди 8-11 классах

называется неотрицательное число, квадрат которого равен данному числу a.

Термин корень имеет долгую и сложную историю. Извлечение квадратного корня древние греки понимали строго геометрически. При переводе греческое слово «сторона» превратилась в «мула» (основание, корень). Поэтому при переводе с индийского на арабский использовался термин «джизр» (корень растения).
Современное обозначение впервые употребил немецкий математик Кристоф Рудольф, из школы алгебраистов в 1525 году. Черта над подкоренным выражением вначале отсутствовала; её позже ввёл Декарт и эта черта вскоре слилась со знаком корня.

1 до 9 и когда мы возводим их в квадрат, то на конце полученного числа будут стоять цифры:
…12=…1 …62=…6
…22=…4 …72=…9
…32=…9 …82=…4
…42=…6 …92=…1
…52=…5
Если в конце числа стоят цифры 2,3,7,8, то полный квадратный корень извлечь из него нельзя.
Чтобы возвести в квадрат числа, заканчивающиеся на 5. Алгоритм прост. Число до последней пятерки умножаем на это же число плюс единица. К полученному числу справа приписываем 25.
152 = (1∙(1+1))25 = 225
252 = (2∙(2+1))25 = 625
852 = (8∙(8+1))25 = 7225

Но сразу понятно, что корни, большие 100 уже этим способом извлечь невозможно. Способ удобен для заданий с маленькими корнями и при наличии таблицы.

Число х представлено в виде суммы а²+ b, где а² ближайший к числу х точный квадрат натурального числа а (а² < х);
Извлечем с помощью этой формулы квадратный корень, например из числа 40:


Этот способ удобен для нахождения
приближённого значения квадратного корня.
Все что нужно - знание формулы.

Канадский метод Этот быстрый метод был открыт молодыми учёными одного из ведущих университетов Канады в 20 веке. Его точность – не более двух – трёх знаков после запятой. Вот их формула: √ X = √ S + (X - S) / (2 √ S) где X - число, из которого необходимо извлечь квадратный корень, а S - число ближайшего точного квадрата. Давайте попробуем извлечь квадратный корень из 40 √ 40 = √ 36 + ( 40-36) /(2√ 36)=6+4/12=6+1/3 ≈6,3 Нужно обладать хорошими вычислительными навыками, а также знанием формулы.

,

число на простые
множители и извлечь квадратный корень из произведения.

7056│2
3528│2
1764│2
882│2
441│3
147│3
49│7
7│7
√7056 = √ 2²∙2²∙3²∙7² = 2∙2∙3∙7 = 84.


Не всегда легко можно разложить,
чаще до конца не извлекается,
занимает много времени.

последовательно вычитать нечетные числа пока разность не станет равной 0 и посчитать количество вычитаний. √256=16
256-1, 255-3, 252-5, 247-7, 240-9, 231-11, 220-13, 207-15,
192-17, 175-19, 156-21, 135-23, 112-25, 87-27, 60-29, 31-31=0
Общее количество вычитаний равно 16.
Недостатком такого способа является то, что если извлекаемый корень не является целым числом, то можно узнать только его целую часть, но не точнее.

7056.
6400 < 7056 < 8100     802 < 7056 < 902   80 < √7056  < 90.
Квадратный корень из 7056 обязательно заканчивается на 4 или на 6 Получаем:
80< √7056 <90;
√7056 = …4 или √7056 = …6
Корень лежит в пределах от 80 до 90, значит, это числа 84 и 86.
Далее возводим 85 в квадрат, так как это «золотая середина»:
85 2 = (8∙(8+1))25 = 7225, 7225 > 7056;
Получилось, что √7056 = 84.

Данный метод эффективно применяется при вычислении квадратных корней из чисел в диапазоне от 100 до 10 000.

до числа 75² =5625!
√(2209)= √(2200+9)= √(2200+3²)= 22+25 =47
Извлечение корней после 75²= 5625, вычисляются следующим образом:√7056= √(6800+256)= √6800+16² = 68+16 =84.

Этот способ применим только для извлечения квадратного корня из точного квадрата, а алгоритм зависит от величины подкоренного числа.

учащихся я свел все данные в диаграммы. В опросе участвовало 150 учащихся.
Диаграмма № 1 - сложно ли Вам извлекать квадратный корень из числа меньше 100, если нет таблицы квадратов?

числа больше 100, если нет таблицы квадратов?

больше 100?

извлечение корней?

известно много способов извлечения квадратного корня, начиная со способа математиков Древнего Вавилона и заканчивая способом степенных рядов сложных степеней из разделов высшей математики. Были изучены и отработаны на практике все найденные способы. Наше предположение, что существует не менее двух-трех способов извлечения квадратных корней без калькулятора подтвердилось.
Описанные в работе методы извлечения корней встречаются во многих источниках. Тем не менее, разобраться в них оказалось для меня непростой задачей, что вызвало немалый интерес. Представленные алгоритмы позволят всем, кто заинтересуется данной темой, быстрее овладеть навыками вычисления квадратного корня, их можно использовать при проверке своего решения и не зависеть от наличия в кармане калькулятора. Тем более на экзамене в 9 и 11 классах применение калькулятора не допускается.
Таким образом, цель работы достигнута, задачи выполнены.