Презентация, доклад по алгебре и началам анализа для 10-11 классов.

она знала периоды расцвета и длительного застоя. В наши дни эта наука развивается исключительно быстро.
Чрезвычайно расширились связи математики с другими науками. Теперь она с успехом используется и в таких областях научного знания, о которых ещё недавно думали, что они не допускают внедрения математических методов. Такое мнение существовало о биологии, медицине, языкознании и некоторых отраслях общественных наук.
Возможности использовать математику для решения практических задач промышленности, сельского хозяйства и транспорта ныне представляются неограниченными.

академик, разработал метод линейного программирования в 30-х годах.

А.Н. Колмогоров
Герой Социалистического Труда, академик. Создал новую область математики -теорию информации.

А.Н. Крылов
Российский математик, академик Герой Социалистического Труда. Впервые в истории науки сформулировал один из принципов вычислительной культуры.

по истечении некоторого промежутка времени.

Например, если маятник делает одно полное колебание за Т секунд, то его отклонение от положения равновесия в моменты времени t, t+T, t+2T и т.д. будет одним и тем же.

Периодически с периодом в 1 год меняется расстояние Земли от Солнца.

С периодом в 1 лунный месяц меняются фазы Луны.

Периодически изменяющиеся величины описывают с помощью периодических функций.

любого t, при котором эта функция определена, выполняются равенства

Заметим, что число 0 является периодом любой функции. Периодическими являются, например, тригонометрические функции
y= sin x, y=cos x и др.

этой функции. Если Т1 и Т2 – периоды f, то и Т1 + Т2 – период той же функции.

Доказательство.
Первое утверждение вытекает из того, что равенство
числа T и –Т входят равноправно. Второе же утверждение следует из того, что

и аналогично

nT также является периодом этой функции.

Доказательство.
Пусть n –натуральное число.
При n=1 истинность следствия вытекает из того, что T – период функции f.
Если kT –период этой функции, то по второму утверждению той же теоремы и kT+T=(k+1)T является ее периодом.
С помощью математической индукции убеждаемся в справедливости следствия для всех натуральных, а следовательно, и для всех целых значений n.

отличный от нуля период.

Если Т – положительный период функции f и известен график этой функции на каком-либо промежутке [a;a+T), то можно получить ее график на всей числовой оси с помощью параллельных переносов вдоль оси абсцисс на kT, где k Z. Обычно выбирают a=0 или

Если функция f постоянна, то любое число является ее периодом. Можно доказать, что если функция f отлична от постоянной, непрерывна и периодична, то среди ее положительных периодов есть наименьший.

что функция {x} (дробная часть x) периодична, и найдем ее основной период.

Решение. От прибавления к x целого числа дробная часть x не меняется. Поэтому любое отличное от нуля целое число является периодом функции y={x}. Наименьшим из положительных целых чисел является 1.

Докажем, что число 1 – основной период функции {x}. Для этого достаточно показать, что ни одно положительное число T меньшее, чем 1, не может быть периодом функции y={x}. Но при x=0 имеем {x}=0, а {x+T} = {T} = T 0 (поскольку 0

Значит, равенство {x}={x+T} не выполняется при x=0, и поэтому T не является периодом функции {x}. Это и означает, что основной период функции y={x} равен 1.

той же функции кратны Т.

Доказательство. В силу теоремы 1 достаточно провести доказательство для положительных периодов функции f. Если Т1 – такой период, то он не может быть меньше Т, так как Т-наименьший из положительных периодов функции f. Но если Т1 Т, то найдется такое натуральное число n, что nT T1<(n+1)T. Из теоремы 1 и ее следствия вытекает, что –nT, а потому и Т1-nT – период функции f. Но 0 Т1 – nT<Т, а из сказанного выше следует, что период Т1-nT не может быть положительным и меньшим, чем Т. Значит, Т1 – nT = 0, т.е. Т1=nT.

в соответствие целая часть.

функций равен

В самом деле, точки М(t), N(t+ ) и P(t- ) совпадают, а потому имеют одни и те же координаты. Так как декартовы координаты точки M(t) равны cos x и sin x и аналогично для двух других точек, то имеем:

(1)
(2)

функций cos t и sin t. Докажем, что у этих функций нет положительных периодов, меньших, чем .

В самом деле, если бы Т, где 0