Презентация, доклад открытого урока по алгебре и началам анализа на тему Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке

виден смысл
какого-нибудь максимума или минимума!»
Леонард Эйлер

изображен на рисунке. Определите промежутки возрастания и убывания функции f(x).

изображен на рисунке. Определите точки максимума и минимума функции f(x).

изображен на рисунке. Определите сколько существует точек на графике функции f(х) , касательные в которых параллельны прямой y = 5 – 2x.

на [ -5;6] и [-7; 6]

5

4

2

-5

у наиб. = 4
[-5; 6]

у наиб. = 5
[-7; 6]

1

1

на [ -7;4] и [-7; 6]

у наим. =- 3
[-7; 4]

у наим. = -4
[-7; 6]

-3

-2

4

-4

РЕШАТЬ ЗАДАЧИ НА ОТЫСКАНИЕ НАИБОЛЬШИХ И НАИМЕНЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ.

Цели урока:

значения она достигает на концах этого отрезка.

лишь одну критическую точку и она является точкой максимума (минимума), то в этой точке функция принимает наибольшее (наименьшее) значение
fmax = fнаиб. fmin = fнаим.

концах отрезка, либо в критических точках, лежащих на этом отрезке.

значений?

своего наибольшего, и своего наименьшего значений.

2.Наибольшего и наименьшего значений непрерывная функция может достигать как на концах отрезка, так и внутри него.

3.Если наибольшее (или наименьшее) значение достигается внутри отрезка, то только в критической точке.

на отрезке [a;b]

1. Найти производную f´(х)

2. Найти критические точки функции, лежащие внутри oтрезка [a;b]

3. Вычислить значение функции у= f(x) в точках,
отобранных на втором шаге, и в точках a и b.
Выбрать среди этих значений наименьшее
( это будет унаим )и наибольшее (это будет унаиб )

[0; 4]

1) y / = 3x2 – 27

2) y / = 3x2 – 27 = 3(x2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3)

3) y(0) = 0

Выполнение этапов решения можно изменить, как вам удобно.

[0; 4]

1) y / = 3x2 – 27

2) y / = 3x2 – 27 = 3(x2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3)

3)

Другой способ решения

min

Наименьшее значение функция будет принимать в точке минимума.
Можно сэкономить на вычислениях значений функции в концах отрезка.

Этот способ будет удобно
вспомнить, когда вычисления значений функции в концах отрезка будет сложным.

1) y(0) = 4

2) y / = 3x2 – 3 = 3(x2 – 1) = 3(x – 1)(x + 1)

Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку.

Найдите наибольшее значение функции y = x3 – 3x + 4
на отрезке [– 2; 0]

2.

точки, которые принадлежат заданному отрезку.

Выбрать наибольшее из
полученных значений.

Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку.

1). Первое число меньше 1, т.к. знаменатель e4 > 5.
2). Второе число – отрицательноe.
3). Значит, наибольшее число 1.

1

y = ln(x+5)5 – 5x на отрезке [-4,5; 0]

4.

max

Наибольшее значение функция будет принимать в точке максимума.
Можно сэкономить на вычислениях значений функции в концах отрезка.

y = 5ln(x+5) – 5x

1. Найти f /(x)

2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.

3. Вычислить значения функции в критических точках
и на концах отрезка.

4. Из вычисленных значений выбрать наименьшее или наибольшее.

0

Можно рассуждать иначе

Запишем функцию в удобном для дифференцирования виде

< 0.
Тогда наименьшее значение функция будет иметь в правом конце отрезка, т.е. в точке х=0.

Найдите наименьшее значение функции


y = 5cosx – 6x + 4 на отрезке

5.

1. Найти f /(x)

2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.

1

0

Если вы не догадались, то вычислите значения функции в каждом конце отрезка и выберите наименьшее.

y = 3tgx – 3x + 5 на отрезке

6.

1. Найти f /(x)

2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.

0

-1

0

многих практических задач на нахождение наилучших, оптимальных решений при наименьших затратах труда, в так называемых задачах на оптимизацию.

ПРИМЕР. Рекламный щит имеет форму прямоугольника S=9 м2. Изготовьте щит в виде прямоугольника с наименьшим периметром

прямоугольника с наименьшим периметром

= 9 (м2) Р=( a+b)*2 (м)
х - ширина прямоугольника
9./х – длина прямоугольника
Р= ( х+9/х) * 2
2.
3. Рассмотрим функцию у=( х+9/х) * 2

х>0

стороной 3м

Какую длину должны иметь стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

а по условию 48 см. Площадь а*в полупериметр а+в=24 см Чтобыперейти к функции , вводим новое обозначение : длина х см, ширина 24-х см, тогда площадь х(24-х)=24х-х2 должна быть наибольшей. Применяем заданный алгоритм 24х-х2)1=24-2х 24-2х=0 х=12 критическая точка
Находим значения функции при х=0 х=12 и х=48 ( на концах промежутка 0,48) f(0)=0 f(12)=144 f(48)= -1152: площадь будет наибольшей , если стороны равны по 12 см данный прямоугольник -квадрат.

которые использовались в ходе вашей учебной деятельности для достижения цели урока
3.Какие чувства испытывали во время урока?
4.Пережили ли вы чувство радости, успеха?
5.С каким настроением вы уходите с урока?
 

«С»: № 947