Презентация, доклад материала по теме: Методы решения рациональных неравенств

число или одно и тоже выражение, которое имеет смысл при всех значениях переменной, то получим неравенство, равносильное данному.

всех х∈R, перенести из одной части в другую с противоположным знаком, то получим неравенство, равносильно данному.

же положительное число или на одно и то же выражение, положительное при всех значениях переменной, то получим неравенство, равносильное данному.

же отрицательное число или на одно и то же выражение, отрицательное при всех значениях переменной, и изменить знак неравенства на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.

Пример: Решить неравенство

множитель х за скобку, получаем Р4(х) = х(х3 + 3х2 – 4). Второй сомножитель, представляющий собой кубический многочлен, имеет корень х = 1. Следовательно, он может быть представлен в виде х3 + 3х2 – 4 = (х-1)(х2 + 4х + 4) = (х-1)(х + 2)2. Таким образом, Р4(х) = х(х - 1)(х + 2)2 и неравенство может быть записано в виде х(х –1)(х + 2)2 > 0.

Решение. Разложим на множители многочлен Р4(х), стоящий в левой части неравенства (*). Вынося множитель х за скобку, получаем
Р4(х) = х(х3 + 3х2 – 4).
Второй сомножитель, представляющий собой кубический многочлен, имеет корень х = 1. Следовательно, он может быть представлен в виде
х3 + 3х2 – 4 = (х-1)(х2 + 4х + 4) = (х-1)(х + 2) 2.
Таким образом, Р4(х) = х(х - 1)(х + 2) 2 и неравенство (*) может быть записано в виде
х(х –1)(х + 2)2 > 0.

Решение.

+∞).
Найдем нули функции. х(х-1)(х+2)2 =0
Х=-2 Х=0 Х=1
4.Определим знак на каждом промежутке.

у>0, при х∈(-∞; -2) ∪ (-2; 0) ∪ (1; ∞).
Ответ: х∈(-∞; -2) ∪ (-2; 0) ∪ (1; ∞).

вида х2 / (х2-х-2)< 0, которое равносильно неравенству
х2(х2 – х – 2) < 0.

-1 0 2 х

Множество решений последнего неравенства находится методом интервалов: х∈( -1;0)∪(0;2).
Ответ: х∈(-1;0)∪(0;2).

Решение: Рассмотрим промежутки знакопостоянства выражения х2–2, стоящего под знаком абсолютной величины.

и неравенства х2–2≥0 представляет собой первое множество решений исходного неравенства : х∈(-2;- √2].
2) Предположим, что х2–2<0, тогда согласно определению абсолютной величины имеем ⏐х2-2⏐=2–х2, и неравенство приобретает вид 2–х2+х<0.

Пересечение множества решений этого неравенства и неравенства
х2–2<0 дает второе множество решений исходного неравенства:
х∈(- √2; -1).
Объединяя найденные множества решений, окончательно получаем х∈(-2; -1).
Ответ: х∈(-2; -1).

неравенство в виде (ах2-1)/х>0,
тогда исходное неравенство равносильно двум системам неравенств:
ax2 – 1 > 0, ax2 – 1 < 0,
x > 0; x < 0.
Рассмотрим первую систему. Первое неравенство запишем в виде: ax2>1.
При а>0 оно равносильно неравенству х2>1/a, множество решений которого х<-1/√a и x>1/√a . В этом случае решение первой системы: х∈(1/√a;∞). При а≤0 левая часть неравенства ах2–1>0 отрицательна при любом х и неравенство решений не имеет, а следовательно, не имеет решений и вся система неравенств.
Рассмотрим вторую систему. При а > 0 решениями неравенства ах2 – 1<0 будут значения х∈(-1/√a; 1/√a), а решениями системы ⎯ значения х∈(-1/√a;0). При a≤0 левая часть неравенства
ах2–1<0 отрицательна при любых значениях х, т.е. это неравенство выполняется при всех х∈R и, следовательно, решениями системы будут значения х∈(-∞; 0).

а ≤ 0, то х∈(-∞; 0); если а > 0, то х∈(- 1/√a ; 0)∪(1/√a; ∞).

y>0,
x>0.
Решение. Решение первого неравенства системы есть координаты точек плоскости, которые лежат вне окружности х2+у2=4; решение второго неравенства есть координаты точек верхней полуплоскости; решение третьего неравенства есть координаты точек правой полуплоскости.
Решением системы являются координаты точек, которые лежат в заштрихованной области.