Презентация, доклад к уроку алгебры на тему Применение теоремы Виета ( 8 класс)

большое уравнение
для других наук»

Федорцова Наталья Ивановна, учитель математики

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №43 г. ВЛАДИВОСТОКА»

уравнений вы знаете?

Какое уравнение называется неполным квадратным?

Какое уравнение называется приведенным?

Что значит - решить уравнение?

Сколько корней может иметь квадратное уравнение?

От чего зависит количество корней квадратного уравнения?

Какое выражение называют дискриминантом?

Фронтальный опрос

уравнением.
3х² - 6х-12=0,
2у² + у-7=0
0,5х² - 3х +1,5=0.

Сколько корней имеет квадратное уравнение?
Х²-64=0,
У²+49=0,
2р²-7р=0,
Х²=0

Устная работа

было настолько испорчено временем искажено влиянием варваров, что я счел нужным придать ему совершенно новый вид.
Ф.Виет

в маленьком французском городке. В 1560 году он окончил парижский университет и начал адвокатскую практику, через несколько лет перешел на государственную службу, став сначала советником короля Генриха ΙΙΙ, а затем рекетмейстером – докладчиком по ходатайствам.

Но был небольшой промежуток времени, когда из-за происков врагов Виет был отстранен от военной службы и получил неожиданный досуг.

В 1569 году покровитель Виета – король – был убит, и Виет стал служить новому королю. Жизнь его проходила на фоне кровавых событий войны, которую вели две мощные религиозные группировки католиков и протестантов – гугенотов. Достаточно сказать, что он пережил Варфоломеевскую ночь.

такой была она для Виета. Виет завершил создание буквенного исчисления, введя обозначения не только для неизвестного и его степени, но и для параметров. Это позволило записать целые классы задач, которые можно решать с помощью одного правила. Он встал у истоков создания новой науки – тригонометрии. Многие тригонометрические формулы, которые ныне изучают в курсе математики средней школы, впервые были записаны Виетом. В 1593 году он первым сформулировал теорему косинусов. Четыре года опалы оказались необычайно плодотворными для Виета. Он работал самозабвенно. По рассказам современников Виет
мог просиживать за письменным столом по трое
суток подряд. Только иногда забываясь сном на
несколько минут. В тот период он начал большой
труд, который назвал «Искусство анализа, или
Новая алгебра». Книгу он не завершил, но главное,
что определило развитие всей математики Нового
времени, было написано.

уравнения

называется приведенным квадратным уравнением.

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

х2 + px + q = 0

х1 + х2 = - р
х1 · х2 = q

Теорема Виета

легко можем вычислить их сумму и произведение, то есть простейшие симметричные выражения x1 + x2 и x1· x2. Так, еще не зная, как вычислить корни уравнения x² – x – 1 = 0, мы, тем не менее, можем сказать, что их сумма должна быть равна 1, а произведение должно равняться –1.
Теорема Виета позволяет угадывать целые корни квадратного трехчлена. Так, находя корни квадратного уравнения x² – 5x + 6 = 0, можно начать с того, чтобы попытаться разложить свободный член (число 6) на два множителя так, чтобы их сумма равнялась бы числу 5. Это разложение очевидно: 6 = 2 * 3 ; 2 + 3 = 5.
Отсюда должно следовать,
что числа 2 и 3 являются искомыми корнями.

лучше, скажи, постоянства такого?
Умножишь ты корни и дробь уж готова
В числителе “С”, в знаменателе “А”.
А сумма корней тоже дроби равна
Хоть с минусом дробь – это что за беда?
В числителе “В”, в знаменателе “А”.

Теореме Виета посвящены такие строки

вх + с = 0 сумма коэффициентов а + в + с = 0, то х1 = 1; х2 = с/а

.

.

Пример. 5х² - 8х +3 = 0
так как 5 – 8 + 3 = 0, то х1= 1; х2 = 0,6

Если в квадратном уравнении ах² + вх + с = 0 выполняется равенство а + с = в, то х1= -1; х2 = - с/а

.

Пример. 5х² + 8х +3 = 0
так как 5 + 3 = 8, то Х1 = - 1; Х2 = - 0,6

х2 + 2х – 3 = 0
3) х2 – 3х + 2 = 0
4) 100х2 + 34х – 134 = 0
5) 200х2 – 23х – 177 = 0
6) х2 – х – 2 = 0
7) х2 – 2х – 3 = 0
8) 90х2– 25х -115 = 0

+ а – 2) = 0

В заданном уравнении в роли коэффициентов выступают не конкретные числа, а буквенные выражения. Такие уравнения называют уравнениями с буквенными коэффициентами или уравнениями с параметрами.

Решить уравнение с параметром – это значит установить соответствие, позволяющее для любого значения параметра найти соответствующее
множество корней.

определить, при каких допустимых значениях параметров уравнение
1) имеет решения;
2) не имеет решения;
3) установить количество решений;
4) найти вид каждого решения при соответствующих ему значениях параметров.

значении а уравнение 2х2 + ах + 8 = 0
имеет один корень?

Решение

Квадратное уравнение имеет один корень, если D = 0.

D = a2 - 4·2·8
a2 – 4 · 2 · 8 = 0
a2 – 64 = 0
a2 = 64
a1= 8
a2 = - 8
Ответ: при а = 8, и при а = - 8 уравнение имеет один корень

корней равен – 4, найдите другой корень этого уравнения и коэффициент р.

Решение квадратных уравнений с параметрами

х1+ х2 = - р
х1· х2 = 56
т. к. х1 = - 4, то х2 = - 14
- р = х1 + х2 = - 4 + (- 14) = - 18
р = 18
Ответ: х2 = - 14, р = 18.

Решение

Х1 · Х2 = q

Теорема Виета. Нет формулы важней.
Для приведенного уравнения
Р – это сумма корней,
q – его корень произведения.

корни 2 и 5.

Сумма корней равна 7, а произведение равно 10.

В нашем уравнении второй коэффициент равен -7,
а свободный член 10.

Таким образом, сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней – свободному члену.

теорему Виета и записываем два тождества:

Х1 · Х2 = –24
Х1 + Х2 = 2

Подбираем такие множители для –24, чтобы их сумма была равна 2. После недолгих размышлений находим: 6 и –4.
Проверим:
6 · (– 4) = –24.
6 + (– 4) = 6 – 4 = 2.

Пример 2.

которое не является приведенным, т.к. коэффициент a = 5. Разделим все на 5, получим: x² − 7x + 10 = 0.

Все коэффициенты квадратного уравнения целочисленные — попробуем решить по теореме Виета. Имеем: x1 + x2 = −(−7) = 7; x1 · x2 = 10.
В данном случае корни угадываются легко — это 2 и 5. Считать через дискриминант не надо.

радикала,
С детства знакомого нам.

Ну, а под корнем, приятель,
сводится всё к пустяку:
p пополам и в квадрате
Минус прекрасное q.

корней равна -6, а произведение равно -11

х² - 6х + 11 = 0

х² + 6х - 11 = 0

х² + 6х + 11 = 0

х² - 11х - 6 = 0

х² + 11х - 6 = 0

= -1 - корни уравнения х² + px +q = 0, то

1) p = -6, q = -5

2) p = 5, q = 6

3) p = 6, q = 5

4) p = -5, q = -6

5) p = 5, q = -6

6) p = -6, q = -5

Запишите это уравнение.

- 3х - 5 = 0 равны

х1 + х 2= -3, х1 ∙ х2 = -5

х1 + х 2= -5, х1 ∙ х1 = -3

х1 + х 2= 3, х1 ∙ х2 = -5

х1 + х 2= 5, х1 ∙ х2 = -3

Определите знаки корней уравнения. Найти сумму и произведение корней уравнения

12x + 27 = 0;

3x² + 33x + 30 = 0;

−7x² + 77x − 210 = 0.

Самостоятельная работа

уравнение.
По теореме Виета имеем: Х1 + Х2 = −(−9) = 9; Х1 ·Х2 = 14.
Корни — числа 2 и 7;

x² − 12x + 27 = 0 — тоже приведенное.
По теореме Виета: Х1 + Х2 = −(−12) = 12; Х1 ·Х2 = 27. Корни: 3 и 9;

3x² + 33x + 30 = 0 — это уравнение не является приведенным. Разделим обе стороны уравнения на коэффициент a = 3. Получим:
x²+ 11x + 10 = 0.
По теореме Виета: Х1 + Х2 = −11; Х1 ·Х2 = 10 ⇒ корни: −10 и −1;

−7x² + 77x − 210 = 0 — коэффициент при x² не равен 1, т.е. уравнение не приведенное. Делим все на число a = −7.
Получим: x² − 11x + 30 = 0.
По теореме Виета: Х1 + Х2 = −(−11) = 11; Х1 ·Х2 = 30; ⇒
корни: 5 и 6.

Проверь себя

книг), содержит основы античной математики, элементарной геометрии, теории чисел, общей теории отношений и метода определения площадей и объемов, включавшего элементы теории пределов, оказал огромное влияние на развитие математики.

Э т о интересно

что он был эллинизированный вавилонянин). Мы очень мало знаем о нем. Автор трактата Арифметика в 13 книгах(сохранились 6 книг) посвященного главным образом исследованию неопределенных уравнений (т.н. диофантовых уравнений). Одним из первых Диофант стал использовать при записи алгебраических рассуждений специальные знаки. На результаты, полученные Диофантом, впоследствии опирались Ферма, Эйлер, Гаусс и др.

Э т о интересно

Последний и наиболее выдающийся из древних индийских математиков и астрономов. Родом из Удджайна в Средней Индии,
где у него была астрономическая обсерватория. В 628 г. изложил четвертую индуистскую астрономическую систему в стихотворной форме в сочинении Открытие Вселенной (Брахма-спхута-сиддханта). Две его главы посвящены математике, в том числе арифметической прогрессии и доказательству различных геометрических теорем. Остальные 23 главы посвящены астрономии: в них описаны фазы Луны, соединения планет, солнечные и лунные затмения, даны расчеты положений планет. Труд Брахмагупты был переведен на арабский язык и таким образом попал в Египет, а оттуда в Европу. Брахмагупта изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к форме ах2 + bх = с, а > 0. В данном уравнении коэффициенты, кроме а, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

Э т о интересно

ок. 850) – великий персидский математик, астроном и географ, основатель классической алгебры. Сведений о жизни ученого сохранилось крайне мало. Значительный период своей жизни он провел в Багдаде, возглавляя при халифе аль-Мамуне (сыне знаменитого Гаруна аль-Рашида) библиотеку «Дома мудрости». Согдиец Мухаммед ибн Муса аль-Хорезми (то есть, родом из Хорезма - с берегов Сыр-Дарьи) работал в первой половине 9 века. Главная книга Хорезми названа скромно: "Учение о переносах и сокращениях", то есть техника решения алгебраических уравнений. По-арабски это звучит «Китаб аль-джебр валь-мукабала"; отсюда произошло наше слово "алгебра".
Другое известное слово - "алгоритм", то есть четкое правило решения задач определенного типа - произошло от прозвания "аль-Хорезми". Третий известный термин, введенный в математику знаменитым согдийцем - это "синус".

Аль - Хорезми

Э т о интересно

квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:
«Квадраты равны корням», т. е. ах2 = bх.
«Квадраты равны числу», т. е. ах2 = с.
«Корни равны числу», т. е. ах = с.
«Квадраты и числа равны корням», т. е. ах2 + с = bх.
«Квадраты и корни равны числу», т. е. ах2 + bх =с.
«Корни и числа равны квадратам», т. е. bх + с = ах2.
Для аль-Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого из этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами аль-джабр и валь-мукабала. Его решение, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида аль-Хорезми, как и все математики до XVII в., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений аль-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства.

Э т о интересно

три, спрятался в гроте; одна обезьяна, влезшая на дерево, была видна. Сколько было обезьян?

Решение.
Пусть было х обезьян.

- не удовл. усл. задачи

Ответ: 50 обезьян

их в квадрате
В роще весело резвилась;
Криком радостным двенадцать
Воздух свежий оглашали.
Вместе сколько,
ты мне скажешь,
Обезьян там было в роще?

Решение

Пусть было х обезьян

х = 48 или х = 16

продал ее за 24 пистоля. При этом он потерял столько процентов своих денег, сколько стоила ему лошадь. За какую сумму денег была куплена лошадь первоначально?

Решение
Пусть х пистолей стоила лошадь,
1% - пистолей
потерял х%, т. е.
известно, что продал ее за 24 пистоля.
Лошадь стоила или х пистолей.
Составляем уравнение:
х = 60 или х = 40

Ответ: за 60 или 40 пистолей

аккуратно
знаком «минус-плюс» отделим.

А под корнем очень кстати
половина p в квадрате
минус q — и вот решенья,
то есть корни уравненья.

з а м о м н и!

bx + c = 0, где a, b, c – заданные числа, a ≠ 0,
х – неизвестное называется… .
Если ax² + bx + c = 0 – квадратное уравнение, то a - … коэффициент,
с - … .
Квадратное уравнение ax² + bx + c = 0, если хотя бы один из коэффициентов в или с равен нулю, называется … .
Квадратное уравнение x² + px + q = 0 называется … .
Полное квадратное уравнение имеет два корня, если в² – 4ас … .
Полное квадратное уравнение имеет единственный корень,
если в² – 4ас … .
Записать формулу корней квадратного уравнения общего вида.
Если Х1 и Х2 – корни уравнения x² + px + q = 0, то справедливы формулы … .
Произведение корней приведённого квадратного уравнения равно… .
Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна… .

Итог урока

уравнения?
• Чему равно произведение корней квадратного уравнения?
Продолжите фразы:
• Сегодня на уроке я узнал...
• Сегодня на уроке я научился...
• Сегодня на уроке я познакомился...

Р Е Ф Л Е К С И Я

клетка»:
http://radikal.ua/data/upload/49112/4efc3/3bd0a3d6bb.jpg
источник шаблона: Ранько Елена Алексеевна учитель начальных классов МАОУ лицей №21 г. Иваново