Презентация, доклад к уроку алгебры и началам анализа на тему Интеграл

из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой - измерять площади, объемы, длины дуг, работу сил за определенный промежуток времени и т. п.

S (первой буквы слова сумма). Само слово интеграл придумал Я. Бернулли (1690 г.). Вероятно, оно происходит от латинского integero, которое переводится как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. (Действительно, операция интегрирования “восстанавливает” функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция.) Возможно происхождение слова интеграл иное: слово integer означает целый.

ПРОИСХОЖДЕНИИ ТЕРМИНОВ И ОБОЗНАЧЕНИЙ

значительно позднее. Употребляющееся сейчас название первообразная функция заменило более раннее “примитивная функция”, которое ввел Лагранж (1797 г.). Латинское слово primitivus переводится как “начальный”: F(x)= [pic] - начальная (или первоначальная, или первообразная) для функции f(x), которая получается из F(x) дифференцированием.

В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласились с предложением Я. Бернулли. Тогда же , в 1696г., появилось и название новой ветви математики - интегральное исчисление (calculus integralis), которое ввел И. Бернулли.

также неопределенным интегралом. Это понятие выделил
Лейбниц, который заметил, что все первообразные функции отличаются на произвольную постоянную. А [pic] называют определенным интегралом
(обозначение ввел К. Фурье (1768-1830), но пределы интегрирования указывал уже Эйлер).

объемов. Ряд задач такого рода был решен математиками древней
Греции. Античная математика предвосхитила идеи интегрального исчисления в значительно большей степени, чем дифференциального исчисления. Большую роль при решении таких задач играл исчерпывающий метод, созданный
Евдоксом Книдским (ок. 408 - ок. 355 до н. э.) и широко применявшийся
Архимедом (ок. 287 - 212 до н. э.).

понятий об интеграле, а тем более не создал алгоритма интегрального исчисления. Ученые Среднего и Ближнего Востока в IX - XV веках изучали и переводили труды Архимеда на общедоступный в их среде арабский язык, но существенно новых результатов в интегральном исчислении они не получили.

Труды Архимеда, впервые изданные в 1544 (на латинском и греческом языках), стали привлекать широкое внимание, и их изучение явилось одним из важнейших отправных пунктов развития интегрального исчисления.

Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления. Но потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи нашли четкое выражение и были доведены до уровня исчисления.

результаты, учились на трудах Архимеда. Активно применялся и другой метод - метод неделимых, который также зародился в Древней Греции. Например, криволинейную трапецию они представляли себе составленной из вертикальных отрезков длиной f(x) , которым тем не менее приписывали площадь, равную бесконечно малой величине f(x)dx. В соответствии с таким пониманием искомая площадь считалась равной сумме
S = [pic] бесконечно большого числа бесконечно малых площадей. Иногда даже подчеркивалось, что отдельные слагаемые в этой сумме - нули, но нули особого рода, которые сложенные в бесконечном числе, дают вполне определенную положительную сумму.

И.
Кеплер (1571 - 1630 гг.) в своих сочинениях “Новая астрономия” (1609 г.) и “Стереометрия винных бочек” (1615 г.) правильно вычислил ряд площадей
(например площадь фигуры, ограниченной эллипсом) и объемов (тело резалось на бесконечно тонкие пластинки).

лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования, дающую достаточно точный алгоритм. Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг от друга факт, известный вам под названием формулы Ньютона - Лейбница.
Тем самым окончательно оформился общий метод. Предстояло еще научиться находить первообразные многих функций, дать логические основы нового исчисления и т. п. Но главное уже было сделано: дифференциальное и интегральное исчисление создано.
Методы математического анализа активно развивались в следующем столетии (в первую очередь следует назвать имена Л. Эйлера, завершившего систематическое исследование интегрирования элементарных функций, и И.
Бернулли).

связано с именами О. Коши, одного из крупнейших математиков немецкого ученого Б. Римана (1826 - 1866 гг.), французского математика Г. Дарбу (1842 - 1917).
Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей и объемов фигур, были получены с созданием К. Жорданом (1826 - 1922 гг.) теории меры.

интеграла, разработанное Ньютоном и ЛейбницемРиман формализовал понятие интеграла, разработанное Ньютоном и Лейбницем, как площади подграфика (фигуры, заключенной между графиком функции и осью абсцисс). Для этого он рассмотрел фигуры, состоящие из нескольких вертикальных прямоугольников и получающиеся при разбиении отрезка (см. рисунок). Если при «размельчении» разбиения существует предел, к которому сходятся площади таких фигур (интегральные суммы), этот предел называется интегралом Римана функции на отрезке.

Интеграл Римана

f.
Рассмотрим разбиение отрезка                                                                                       — конечное множество попарно различных точек отрезка. Это разбиение делит отрезок [a,b] на n отрезков                                          . Длина наибольшего из отрезков d = max(Δxi), где Δxi = xi − xi − 1, называется диаметром разбиения.
Отметим на каждом отрезке разбиения по точке                           . Интегральной суммой называется выражение                                     .

Если при стремлении диаметра разбиения к нулю интегральные суммы стремятся к одному и тому же числу, независимо от выбора                           , то это число называется интегралом функции f на отрезке [a,b], т.е.                                        

В этом случае, сама функция f называется интегрируемой (по Риману) на [a,b]; в противном случае f является неинтегрируемой (по Риману) на отрезке [a,b].

нижняя (площадь зелёного) и верхняя (площадь зелёного и серого)
Пусть на отрезке [a,b] определена вещественнозначная] определена вещественнозначная функция f. Рассмотрим произвольное разбиение отрезка

Верхней суммой Дарбу Δ называется число


Соответственно, нижней суммой Дарбу для Δ называется


Функция называется интегрируемой по Риману, если существует вещественное число


В этом случае, по определению

f на отрезке           может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница: он равен
F (b) –F (a).                          
Непрерывная на отрезке функция интегрируема по Риману. Разрывные функции могут быть интегрируемы, но могут и не быть; примером функции, не интегрируемой по Риману, является всюду разрывная функция Дирихле.
Ограничение: Если функция f интегрируема на отрезке [a,b], то она интегрируема и на меньшем отрезке [a1,b1], где                                       .
Если функция интегрируема на отрезке [a,b] и на отрезке [b,c], то она интегрируема и на отрезке [a,c], и                                                                                  .

Свойства

функция αf + βg тоже интегрируема, и
                                                                                                                   
Предел: Если интегрируемые функции fi равномерно сходятся на отрезке [a,b] к функции f, то f интегрируема, и
                                                               

Задачи по математике. Начало анализа., М., “Наука”,
1990.
Евграфов Н. Н. Курс физики для подготовительных отделений вузов., М.,
“Высшая школа”, 1984.
Колмогоров А. Н. Алгебра и начала анализа., М., “Просвещение”, 1990.
Пинсий А. А. Физика., М., “Просвещение”, 1994.
Прохоров А. М. Большая Советская энциклопедия т.10., М., “Советская энциклопедия”, 1972.
Сканави М. И. Сборник задач по математике для поступающих во втузы.,
М., “Высшая школа”, 1988.