Презентация, доклад к кружку мматематики Развитие пространственного мышления

кружку математики в 7 классе
«Развитие пространственного мышления учащихся»

Автор: учитель математики Коротких Альбина Анатольевна

различных областях деятельности во многом зависят от уровня развития пространственного мышления человека.
Очень важно обладать способностью развивать пространственное мышление учеников, для чего необходимо овладеть определённым кругом знаний и умений.
Основными показателями развития пространственного мышления являются следующие умения:
• Создавать исходный геометрический образ, т.е. в графической модели передавать форму, размеры и взаимное расположение отдельных элементов объекта;
• Выбирать и произвольно изменять точку отсчета;
• Сохранять в памяти геометрический образ;
• Анализировать геометрические образы;
• Синтезировать геометрические образы;
• Рассматривать объект с разных точек зрения;
• Мысленно производить различные геометрические преобразования над исходным геометрическим образом;
• Мысленно изменять структуру геометрического образа (трансформировать геометрический образ);
• Осуществлять глазомерные оценки линейных и угловых величин.

руки квадраты с данными вершинами А и В.Обозначьте другие вершины квадратов.
2. Мысленно проведите диагонали в каком-либо построенном вами квадрате. Пусть точка О - точка пересечения диагоналей.
Сколько всего треугольников получилось на воображаемом чертеже?
Перечислите их.
3. Постройте от руки квадрат ABC Д. Пусть К- середина стороны АВ. Мысленно проведите отрезок ДК. Представьте, что квадрат разрезан по линии ДК и треугольник КАД повернут вокруг точки К так, что отрезки КА и KB совместились. Какая фигура получилась? Сделайте от руки чертеж этой фигуры.
4. Начертите на глаз отрезок АВ длиной Зсм. Начертите от руки прямоугольник со стороной АВ так, чтобы одна сторона прямоугольника была в два раза короче другой. Обозначьте другие вершины прямоугольников.

построенном вами прямоугольнике. Пусть О - точка их пересечения.
Сколько всего прямоугольников получилось на воображаемом чертеже?
Перечислите их.
6. Из четырех изображений выберите то, которое соответствует заданному объекту, если смотреть со стороны, отмеченной стрелкой.

основании примерно в 60 градусов. Пусть К- середина стороны АВ. Мысленно проведите отрезок ДК. Представьте, что трапеция разрезана по линии ДК и треугольник КАД повернут вокруг точки К так, чтобы отрезки КА и KB совместились. Какая фигура получилась? Сделайте от руки чертеж этой фигуры.
8. Фигура разрезана по линии АК на две части. Представьте, что треугольник АВК повернут вокруг точки К так, что отрезки ВК и КС совместятся. Какая фигура при этом получается?

что учащиеся изобразят по крайней мере два квадрата, в которых: 1. вершины А и В смежные; 2. вершины А и В противоположные.
Для выполнения этого задания необходимо уметь: создавать геометрический образ, выделять возможные случаи расположения данных фигур ( вершин А и В ), оперировать геометрическим образом, давать глазомерные оценки длин отрезков.
В задании 2 требуется сохранять в памяти геометрический образ; мысленно оперировать его элементами; выделять знакомые фигуры путем расчленения целого на части и, наоборот, объединять несколько фигур в одно целое; выбирать точку отсчета. Так, при перечислении всех получившихся треугольников сначала надо выбрать некоторую точку отсчета ( центр квадрата) и соединить с ней все вершины квадрата, получив 4 треугольника; потом мысленно опереться на «нижнюю» сторону квадрата и увидеть еще 2 треугольника; рассмотрение фигур, у которых одна из сторон- «верхняя» сторона квадрата, даст еще 2 треугольника. Так будут мысленно выделены все 8 треугольников.
В задании 3 надо создать (с опорой на чертеж) новый геометрический образ путем изменения структуры исходного геометрического образа. Мысленно разрезав исходную геометрическую фигуру, требуется произвести совмещение двух изображенных на чертеже отрезков. В результате правильного выполнения мысленных преобразований получится либо прямоугольный треугольник с катетом СД (выполнена центральная симметрия треугольника АКД с центром в точке К), либо трапеция КВСД, где ВК\\СД (выполнена осевая симметрия треугольника АКД относительно средней линии КМ квадрата АВСД). Заметим, что во втором случае преобразование произведено с выходом в пространство.

подлинной мыслительной деятельности»
Задания на развитие умений создавать и оперировать пространственными образами позволяют повысить уровень развития пространственного мышления учащихся, приобрести базу для изучения стереометрии в старших классах, развить творческие способности, так как в основе творчества лежит деятельность образных компонентов мышления.
/ Задания предлагаются в занимательной , эмоциональной форме или в виде описания практических действий, так как эмоциональная память наиболее устойчива./
Оперирование в геометрическом пространстве требует умения работать в пространстве с постоянно меняющейся точкой отсчёта, в то время как в реальном пространстве чаще всего используется так называемая «схема тела» (налево, направо от себя и т.п.) Именно трудность овладения геометрическим пространством часто не позволяет учащимся на уроках стереометрии объяснить решение задачи, выполненной дома. Часто причина кроется в том, что расположение фигур, изображённых на доске учителем и учащимся в тетради, различно. Поэтому первоначально необходимо организовать работу по «выходу в пространство».

Посмотрите на рис. и установите ваш кубик относительно себя в положения, соответствующие изображениям куба 1,а), 1,6), 1,в),
Поместите ваш кубик в такие положения, изображений которых нет на рисунке. Нарисуйте куб в этих положениях.

объекта (кубика) меняется.)
Будем считать, что куб находится в основном положении (его необходимо определить, чтобы ввести название граней: передняя, задняя и т.д.), когда он расположен на горизонтальной поверхности на уровне ваших глаз и вам видна только одна из его стенок. Договоримся изображать основное положение куба так, как это сделано на рисунке б) или в), потому что при этом видна наибольшая часть его элементов.

находилась в стеклянной клетке, имеющей форму куба. Попытки сороки увидеть змею были неудачны, пока она не узнала, что лицезреть хищницу можно, наблюдая клетку в положении, которое изображено на рис. а) из №1. Пусть ваш кубик на столе будет клеткой со змеёй. Займите то положение наблюдения относительно клетки, в котором должна находиться сорока, чтобы увидеть кобру.
(Точка отсчёта находится в наблюдателе, позиция которого меняется при неизменном положении объекта.)

в комнату и, остановившись, увидел ту же картину, что и вы, глядя на рисунок.

(смотри рисунок)

с его позиции наблюдения, т.е. ориентация происходит уже не по схеме тела.)

жирной линией).

проволоки, видимой со сторон, обозначенных стрелками:
1 - вид спереди, 2 - вид сбоку, 3 - вид сверху?

задача также направлена на развитие проективных пространственных
представлений.)

форму и установленной на тёмной улице. Где вы разместите источник света, чтобы вечером можно было прочесть как можно больше этих объявлений?

куб с разных сторон, что означает «выход» в пространство с постоянно меняющейся точкой отсчёта (геометрическое пространство).).
Решая задачу, сначала целесообразно обсудить, где могут быть расположены объявления. При условии, что объявления размещены на всех гранях куба, кроме основания, и наблюдатель может их все прочитать, источник света должен быть помещён»над» одной из верхних вершин куба, а точнее, на продолжении диагонали куба, так как при таком расположении можно осветить наибольшее количество граней куба. С геометрической точки зрения это означает, что наибольшее количество граней неподвижного куба, которые можно видеть с одной позиции, равно трём.

задачи на оперирование пространственным образом. Именно умение
оперировать образом геометрического объекта, изменить его положение необходимо при изучении стереометрии.
Многозначность образного мышления при решении задач проявляется в неоднозначности восприятия ситуации, описываемой в задаче, в многозначности ответов задач.
Учащиеся должны мысленно оперировать плоскими объектами как в плоскости, так и в пространстве.
Задачи 2-ой части направлены на развитие умения учащихся мысленно изменять положение объекта. Данное умение является основной характеристикой первого уровня развития пространственного мышления. Оно является базой для решения задач, направленных на мысленное изменение структуры объекта.

Бабы-Яги? Я нарисовала её с разных сторон среди других похожих» (смотри рисунок). Такое задание дала Алёнушка своему брату. Вы можете ему помочь, если найдёте три рисунка, которые могут быть изображением чудо-печки с разных сторон.

либо в), д), е). Именно могут, так как при изображении объёмных объектов на плоской поверхности мы не можем точно судить о совпадении невидимых стенок.

с лицевой и изнаночной сторон отличается по расцветке. Найдите изображения одного и того же кармана, если на рисунке они обращены к вам лицевой стороной.
Выполните аналогичное задание при условии, что ткань имеет одинаковый рисунок с обеих сторон.

сторон, оперировать можно, только не выходя из плоскости. Ответы будут следующие:
1-ый карман - рисунки а), ж); 2-ой карман- рис. б), г).
3-ий карман- рисунки в), е); 4-ый карман- рис. д).
Если же ткань имеет один рисунок с обеих сторон, то образами карманов можно оперировать в пространстве, в результате ответы, полученные в первом случае, могут быть объединены так: 1к - рис. а, ж, б, г; 2к. - рис. в, е, д.

поэта Цветика, Тот прогуливался по дорожке и, как обычно, сочинял стихи. Незнайка незаметно положил на дорожку кубик с разноцветными гранями, а сам спрятался в кусты. Что будет? Из кустов он видел кубик так, как показано на рисунке а) (смотри следующий слайд). Цвета невидимых ему граней Незнайка запомнил: задняя -синяя, левая - чёрная, нижняя - жёлтая. Цветик, конечно же, споткнулся о кубик, оба подпрыгнули... и Незнайка вдруг увидел, что его кубик пропал, а на его месте оказался какой-то чужой: передняя грань у него синяя, а верхняя - чёрная. Попробуйте, раскрасив грани куба убедить Незнайку, что новый кубик - его собственный.
Помогите ему решить ту же задачу, если после «прыжка» кубика Незнайка смог увидеть только одну переднюю грань - жёлтую.

б). В случае, когда Незнайка видит только одну грань, возможны 4 ответа (рис. в)).

центры верхней и нижней граней. Теперь эта спица стала осью, вокруг которой он вращается. На рисунке изображены некоторые положения разных кубиков, полученные при таком вращении. Найдите три рисунка, которые могут изображать один и тот же кубик с разных сторон.

либо а, г, д, либо б, г, д. Последний ответ учащиеся часто не выделяют, так как «благодаря» опыту решающий в условии задачи неявно записывает требование размещения на гранях различных цифр. Этот ответ, в свою очередь, разбивается на три случая, т.е. может быть реализован на трёх кубиках (смотри рисунок).

ёлке. Игрушка имела форму треугольной пирамиды с одинаковыми гранями, на каждой из которых был нарисован зверёк: лошадь, петух, козёл и осёл. Дома Чебурашка нарисовал несколько изображений игрушки с разных сторон (на рисунке а), б), в),г) изображения зверей на гранях заменены первыми буквами их названий). Гордый своей работой, Чебурашка пригласил Гену в эксперты. Тот сразу же заметил одно лишнее изображение игрушки и нарисовал другое. Когда друзья отлучились на минутку, Шапокляк успела напакостить - замазала почти все рисунки на шедевре Гены (рисунок в середине).
1. Найдите лишнее изображение игрушки, выполненное Чебурашкой.
2. Восстановите рисунки на гранях пирамиды, изображённой Геной.

процессе обучения математике задач аналитического характера не позволяет многим решающим учитывать положение букв на гранях пирамиды. Из 1 случая следует, что ослик изображён на нижней грани. Поэтому во втором случае ответ может быть любым из представленных на рисунке справа.

проволока ( на рисунке она выделена). Нарисуйте, как выглядит эта проволока (ломаная линия) спереди (стрелка 1), сбоку (стрелка 2), сверху (стрелка 3) для каждой модели. Сравните длины ломаных линий. Если они не равны, определите, насколько одна больше другой, при условии, что ребро куба равно 1см.

для правой. Недостаток знаний учащихся позволяет найти ответ на последний вопрос задачи рационально - не вычисляя длины ломаных, а сравнивая поэлементно. Длина ломаной на правой модели оказывается на 0,5 см больше.

знаками на стенках, показанной с разных сторон на рисунке. Как только вы дадите правильный ответ, коробка станет прозрачной. Глядя на куб с наименьшим номером из выбранных вами трёх сначала справа, затем спереди и , наконец, сверху, вы сможете прочесть три буквы, составляющие название существа, обитающего в коробке.

нём, изображены на рис. а), б), г). Хотя можно найти ещё три положения другого кубика, но слово из букв на его гранях не составить. Существо, обитаемое в коробке – КОТ.

рисунке слева (невидимые грани показаны как бы отогнутыми), разрезали по некоторым рёбрам и развернули. Некоторые буквы на развёртке стёрлись (рисунок в середине). Восстановите буквы на развёртке и выделите рёбра на изображении куба, по которым был сделан разрез.

Из него следует, что необходимо учитывать положение букв на гранях и развёртке. Если буква О обладает только двумя осями симметрии, то возможны два ответа (рисунок справа), если же она изображена в виде окружности, то возможны ещё два.

объектами;
Сохранять в памяти геометрический образ;
Выбирать и произвольно изменять точку отсчета;
Создавать исходный геометрический образ, т.е. в графической модели передавать форму, размеры, взаимное расположение отдельных элементов объекта;
Синтезировать геометрические образы;
Осуществлять глазомерные оценки линейных величин;
Мысленно изменять положение объектов.
Анализ результатов данной работы позволил отметить некоторый положительный сдвиг в развитии пространственного мышления учащихся. Вместе с тем, живая заинтересованность ребят в решении специально подобранных заданий и тестов позволяет утверждать, что систематическое внедрение в учебный процесс методики развития пространственного мышления на всех этапах изучения геометрии способствует формированию одного из важнейших качеств математического развития личности школьника.

практические задания и упражнения, издательство, Волгоград: «Учитель», 2009.
2.  Якиманская И. С. Развивающее обучение. М., 1979.
3.  Якиманская И. С. Развитие пространственного мышления школьников. М., 1980.
4. Якиманская И. С., Зархин В. Г., Кадаяс Х.-М. X. Тест пространственного мышления (ТПМ): Методические рекомендации по работе с тестом (для психологов-профессионалов). М., 1988.
Интернет-ресурсы
http://www.tico-rantis.ru/games_and_activities/mladshiy_shkolnik/