Презентация, доклад исследовательской работы Квадратные уравнения

М.Н.

связанные с разделением земли, нахождением ее площади, земельными работами военного характера, а также с развитием таких наук, как математика и астрономия. Квадратные уравнения умели решать вавилоняне около 2000 лет до н.э. Среди клинописных текстов были найдены примеры решения неполных, а также частичных случаев полных квадратных уравнений.

образом вавилоняне пришли к этим методам: почти на всех найденных до сих пор клинописных текстах сохранились лишь указания к нахождению корней уравнений, но не указано, как они были выведены. Однако, несмотря на развитость математики в те времена, в этих текстах нет ни малейшего упоминания о отрицательных числах и об общих методах решения уравнений.

которые не связывались с геометрией, впервые приводит Диофант Александрийский в III в. н.э. В своих книгах «Арифметика» он приводит примеры решения неполных квадратных уравнений.
Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние учёные обладали каким-то общим правилом решения задач с неизвестными величинами. Это правило совпадает с современным, однако неизвестно, каким образом они дошли до него. Все найденные до сих пор папирусные и клинописные тексты приводят лишь задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, авторы их лишь изредка снабжали их скупыми комментариями, типа: “Смотри!”, “Делай так!”, “Ты на правильном пути”.

х — переменная, а, b и с — некоторые числа, причем а≠0.

Числа а, b и с — коэффициенты квадратного уравнения.
Число а называют первым коэффициентом,
b — вторым коэффициентом и с — свободным членом.

нет.

Заметим, что квадратное уравнение называют еще уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени. ПРИМЕР. -6х²+4х+3=0 а=-6, b=4, с=3

или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.
Так, уравнения
-2x²+7=0, b =0
Зх²-10х=0, с=0
-4x²=0, b =0 и с=0
— неполные квадратные уравнения.

квадратные уравнения бывают трёх видов.

ах²+с=0, где с ≠0
переносят его свободный член в правую часть и делят обе части на а.
Получают уравнение х²=-с/а, равносильное уравнению
ах²+с=0.
Так как с≠0, то –с/а ≠ 0.
Если –с/а >0, то уравнение имеет два корня
х1=-√–с/а и х2=√–с/а
Если –с/а <0, то уравнение не имеет корней.

х²=5
х=√5 или х=-√5
Ответ: √5 ; -√5

2. 5х²+25=5
5х²=5-25
5х²=-20
х²=-4, так как квадрат числа не может быть отрицательным числом, то получившееся уравнение не имеет корней.
Ответ: корней нет.

≠О раскладывают его левую часть на множители и получают уравнение
х (ах+ b)=0.

Произведение х (ах+b) равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
х=0 или ах+b=0.

Решая уравнение ах+b=0, в котором а≠0, находим:
ах= -b, х= -b/а

Следовательно, произведение х(ах+ b) обращается в нуль при х=0 и при х= -b/а. Корнями уравнения ах² +bх=0 являются числа 0 и - b /а
Значит, неполное квадратное уравнение вида а х²+ b х=0 при b ≠ 0 всегда имеет два корня.

Неполное квадратное уравнение вида ах²=0 равносильно уравнению х²=0 и поэтому имеет единственный корень 0.

4х+9=0
4х=-9
х=-9:4
х=-2,25
Ответ: 0; -2,25.
2. х²=0
Ответ: 0.

Примеры.

Д<0, то уравнение не имеет корней.
Если Д=0, то уравнение имеет 1 корень
Если Д>0, то уравнение имеет 2 корня.

3х²-7+4=0 , а=3, b=-7, с=4
Д=(-7) ²-4 ∙3 ∙4=49-48=1›0, уравнение имеет два корня.
-(-7)±√1 _ 7±1
2∙3 ¯ 6

Х1=8/6 х2=1

Ответ: 1; 8/6.

4(k²-ас)=4 Д1

-2 k±√ Д _ - 2k± 2√ Д1
2а ¯ 2а

- k ± √ Д1
а

9х²-14х+5=0
Д1=(-7) ²-9∙5=4
7 ±2
9
х1=1; х2=5/9

Ответ: 1; 5/9.

х²-4х+8=0

Приведённые квадратные уравнения

х=-5
Ответ: -5.

Решение приведённых квадратных уравнений выделением квадрата двучлена

выражение можно записать в виде (х-3) ², т.е. в виде квадрата двучлена.
х²-6х-7+9=9
х²-6х+9=9+7
х²-6х+9=16
(х-3) ²=16
х-3=4 или х-3=-4
х=7 х=-1
Ответ: -1; 7.

выражение можно записать в виде (х+4) ², т.е. в виде квадрата двучлена.
х²+8х-1+16=16
х²+8х+16=17
(х+4) ²=17
х+4=√17 или х+4=- √17
х= √17-4 х=- √17-4
Ответ:- √17-4 ; √17-4

и х 2=-с/а
Пример.
2х²+3х-5=0
2+3+(-5)=0 х 1=1 х 2=-с/а=-2,5
Д=b²-4ас=3²-4•2•(-5)=9+40 =49>0, 2кор.
Х=(-b±√Д):2а=(-3±7): 4
х 1=(-3+7):4=1 и х 2=(-3-7):4=-2,5
Ответ: 1; -2,5

х 1=-1 х 2=-с/а=-4
Д=b²-4ас=10²-4•2•8=100-64 =36>0, 2кор.
х=(-b±√Д):2а=(-10±6): 4
х 1=(-10+6):4=-1 и х 2=(-10-6):4=-4
Ответ: -1; -4

основы элементарной алгебры. Он был одним из первых, кто числа стал обозначать буквами, что существенно развило теорию уравнений.

Теорема Виета

корни х=7 и х=-1.
Произведение корней 7 ∙(-1)=-7 =с,
Сумма корней 7+(-1)=6= - b.
Таким свойством обладает любое приведённое квадратное уравнение, имеющее корни.

а произведение корней равно свободному члену.
Рассмотрим приведенное квадратное уравнение.
Обозначим второй коэффициент буквой р, а свободный член — буквой q:
x²+px+q=0.

Теорема

x1 + x2 = – p и x1•x2 = q,
то они удовлетворяют квадратному уравнению x²+ px + q = 0.

+ q = 0.

1) x1²+x2²=(x1+x2) ²−2x1x2 ⇒
x1²+x2²=p²−2q ;

2) x1+x2=(x1+x2)((x1+x2)²−3x1x2) ⇒
x1+x2=−p(p²−3q)