Презентация, доклад на тему Числовая окружность

умение использовать числовую окружность при решении задач;
развивать вычислительные навыки, правильную математическую речь, логическое мышление обучающихся;
формировать умение применять изученный теоретический материал при выполнении письменной работы;
прививать самостоятельность, внимание и аккуратность;
воспитывать ответственное отношение к обучению.

радиус которой равен 1.
Единичную окружность с установленным соответствием между действительными числами и точками окружности называют 
числовой окружностью.

О

Каждому действительному числу t  соответствует единственная точка М  на этой окружности

поворота.

Если точка  перемещается по часовой стрелке, получаются отрицательные углы

Если  точка  перемещается против часовой стрелки, получаются положительные углы

А

А

О

О

меньше 270°, значит, в III квадранте.
2) Вычисляем, на сколько градусов этот угол отличается от угла 180°.
 225° =180° + 45°

Обозначьте на единичной окружности угол −120°.

Угол обозначается в отрицательном направлении. Он находится в III квадранте.
Решение:  
−120° = −90° + (−30°)

числовая, но удобнее использовать единичную окружность.
Единичная окружность — это окружность, радиус которой принимается за единицу измерения.

Длина единичной окружности L равна L=2π⋅R=2π⋅1=2π.
Считаем, что R=1.
Если взять π≈3,14, то длина окружности l может быть выражена числом 2π ≈ 2⋅3,14=6,28.

называть
дугу AB — первой четвертью, дугу BC — второй четвертью, дугу CD — третьей четвертью, дугу DA — четвёртой четвертью, причём это открытые дуги, т. е. дуги без их концов.

Длина каждой четверти единичной окружности равна 
1/4⋅2π = π/2.
  Принято в обозначении дуги на первом месте писать букву, обозначающую начало дуги, а на втором месте писать букву, обозначающую конец дуги.
  Для работы с числовой окружностью часто используются два макета числовой окружности.

части, и около каждой из полученных восьми точек записано число, которому она соответствует.

Второй макет

Каждая из четырёх четвертей числовой окружности разделена на три равные части, и около каждой из полученных двенадцати точек записано число, которому она соответствует

она соответствует и числу вида t+2πn,n∈Z.
 На указанных двух макетах написаны числа, соответствующие точкам при первом обходе числовой окружности в положительном направлении, т. е. на промежутке [0;2π].
Таким образом, единичная окружность с установленным соответствием между действительными числами и точками окружности называется числовой окружностью.

плоскости так, чтобы центр окружности совместился с началом координат, а её радиус принимаем за единичный отрезок.

Начальная точка числовой окружности A совмещена с точкой (1;0).

Каждая точка числовой окружности имеет в координатной плоскости свои координаты.

числовой окружности.

Значит, Δ OMP — равнобедренный прямоугольный треугольник и OP=MP, т. е. у точки M абсцисса и ордината равны: x=y

Так как координаты точки M(x;y) удовлетворяют уравнению числовой окружности x2+y2=1, то для их нахождения нужно решить систему уравнений:

x2+y2=1
x=y

Точка М - середина I четверти.

Опустим перпендикуляр МР на прямую ОА и рассмотрим ∆ОМР.
Так как дуга АМ составляет половину дуги АВ, то ∠МОР=45°

Получили, что координаты точки М, соответствующей числу , будут

М = М

=М

учитывая только знаки координат в каждой четверти.

Полученные результаты запишем в таблицу.

как дуга AM составляет третью часть дуги AB, то ∡MOP=30°.
 Катет MP лежит против угла 30° в прямоугольном треугольнике, значит, равен половине гипотенузы, т. е. ордината точки M равна
 MP=1/2; y=1/2

Абсциссу x точки M найдём, решив уравнение:
  x2+y2=1;

Получим, что координаты точки M,

соответствующей числу будут М( ) = М

Аналогично можно получить координаты и других точек второго макета числовой окружности, учитывая только знаки координат в каждой четверти.

точки числовой окружности P(7π/2).
Как расположены на числовой окружности точки, соответствующие числам  t  и  π - t ?

Домашнее задание

4. Найдите на числовой окружности точку, которая соответствует:

единственная точка, но каждой точке числовой окружности соответствует бесчисленное множество действительных чисел.