Презентация, доклад на тему Арифметическая и геометрическая прогрессии

9 класса,
филиала МБОУ Токарёвской СОШ
в с.Полетаево.
Руководитель: Зуева И.П., учитель математики

применения.
Задачи:
Изучить наличие задач на прогрессии с практическим содержанием в различных учебных пособиях.
Выяснить:
когда и в связи с какими потребностями человека появилось понятие последовательности, в частности -прогрессии;
какие ученые внесли большой вклад в развитие теоретических и практических знаний по изучаемой проблеме.
Установить: имеют ли арифметическая и геометрическая прогрессии прикладное значение? Найти примеры применения прогрессий в нашей жизни.

Объект исследования: последовательности: арифметическая и геометрическая прогрессии.
Предмет исследования: практическое применение этих прогрессий

роль в повседневной жизни? Для этого сделан исторический экскурс для установления авторства теории о прогрессиях. Приведены примеры применения прогрессий в различных отраслях хозяйства. Сделан анализ влияния размножения живых организмов в геометрической прогрессии на жизнь на Земле.

Актуальность

мы много раз слышали о том, что математика – наука очень древняя и возникла она из практических нужд человека. Видимо, и прогрессии имеют определенное практическое значение.
Методы исследования:
Анализ школьных учебников математики.
Анализ школьных учебников математики, математической, справочной литературы, литературы по истории математики, материала из Интернета.

начиная со второго, получается из предыдущего увеличением его на определённое число d.
Имеет вид:
a1, a1+d, a1+2d, a1+3d, …, a1+(n-1)d,…

и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число q.
Имеет вид:
b1, b1q, b1q2, b1q3,… ,b1qn-1,…
 

в документах Древней Греции. В Древнем Египте в V до н.э. греки знали прогрессии и их суммы:
1+2+3+…+n = =2+4+6+…+2n = n·(n+1). Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским ученым (V в.).

и греческих надписях, имеющих возраст около четырех тысячелетий и более.
В клинописных табличках вавилонян, как и в египетских папирусах, относящихся ко второму тысячелетию до нашей эры, встречаются примеры арифметических и геометрических прогрессий.
Пифагор (IV в. до н. э.) и его ученики рассматривали последовательности, связанные с геометрическими фигурами.

задач является "задача о размножении кроликов", которая привела к открытию числовой последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., именуемой впоследствии "рядом Фибоначчи".

Известно, что бактерии размножаются делением: одна бактерия делится на две; каждая из этих двух в свою очередь тоже делится на две, и получаются четыре бактерии; из этих четырех в результате деления получаются восемь бактерий и т. д. (геометрическая прогрессия).

Прогрессии в природе.

солении и др.)

Интенсивность размножения бактерий используют…

в сельском
хозяйстве
(для приготовления
силоса, корма
для животных и др.)

в фармацевтической промышленности (для создания лекарств, вакцин)

в коммунальном
хозяйстве и
природоохранных
мероприятиях
(для очистки сточных
вод,ликвидации
нефтяных пятен)

15-го размножения?

Решение:

Численность любого вида при отсутствии ограничений растёт в соответствии с геометрической прогрессией;
Кривая роста численности любого вида при отсутствии ограничений называется экспонентой.

b15 = 2·2 ^ 14 = 32 768

1,5 летних месяцев, одна единственная тля может оставить более 300 млн. потомков, а за год её потомство способно будет покрыть поверхность земного шара слоем толщиной почти в 1 метр.

ВОРОБЬИ…… Потомство пары птиц величиной с воробья при продолжительности жизни в четыре года может покрыть весь земной шар за 35 лет.
 

вклад в сумме а р. Под р% годовых на t лет. У вас есть две стратегии поведения: либо в конце каждого года хранения вклада снимать проценты по вкладу, т.е. полученную прибыль в размере р., либо прийти в банк один раз — в конце срока хранения вклада. Kaкой доход вы получите в том и другом случаях?

В первом случае при t = 1 вы получите (а + )р., при
t = 2 ваша итоговая сумма составит (а + )р., при t = 3
(а + )р. и т. д. Математическая модель ситуации — конечная
арифметическая прогрессия а, а + , а + ,а + …, а + .
Итак, при первой стратегии поведения за t лет вы получит)
а(1 + )— это так называемая формула простых процентов

банк только в конце срока хранения вклада, то при t = 1 получаемая сумма составит, как и в первом случае, (а + )р., т. е. а (1 + )р.; сумма вклада увеличится в (1 + )раз. Во столько же раз она увеличится и к концу второго года хранения, и к концу третьего года хранения и т. д.
Математическая модель ситуации — конечная геометрическая прогрессия а, а(1 + ), а(1 + )2,а(1 + )3,…, а(1 + )t.
Итак, при второй стратегии поведения за t лет вы получите
а(1 + )tруб..— это так называемая формула сложных процентов.

5 капель, а в каждый следующий день — на 5 капель больше, чем в предыдущий. Приняв 40 капель, он 3 дня пьет по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до 5 капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)?

Прогрессии в медицине.

40, 40, 35, 30,…,5




ап=а1+d(n-1),
40=5+5(п-1),
п=8,
Sп=((a1+aп)n)/2, S8 =(5+40)·8:2=180,
180 капель больной принимал по схеме в первый период и столько же по второй период. Всего он принял 180+40+180=400(капель), всего больной выпьет 400:250=1,6 (пузырька). Значит, надо купить 2 пузырька лекарства.

возрастающая
арифметическая
прогрессия
а1=5, d=5

убывающая
арифметическая
прогрессия
с1=5, d=-5

из 25 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах — одно штрафное очко, за каждый последующий — на 0,5 очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 7 штрафных очков?
Решение. Составим математическую модель задачи. Система штрафных очков составляет арифметическую прогрессию, первый член которой равен 1, а разность – 0,5. Сумма первых n членов ( количество промахов) равно 7. Найдем число промахов - n.

соседям; каждый из них рассказывает новость уже трем своим соседям и т. д. Во сколько эта новость станет известна половине посёлка? Решение. Итак, в 8. 15 утра новость была известна только четверым: приезжему и трём местным жителям. Узнав эту новость, каждый из трёх граждан поспешил рассказать её трём другим. Это потребовало также четверти часа. Значит, спустя полчаса после прибытия новости в город о ней узнали уже 4+3·3=13 человек. Каждый из девяти вновь узнавших поделился в ближайшие четверть часа с тремя другими гражданами, так что к 8.45 утра новость стала известна 13+9·3= 40 гражданам. Если слух распространяется по посёлку и далее таким способом, то есть каждый узнавший эту новость успевает в ближайшие четверть часа передать её трём согражданам, то осведомление посёлка будет происходить по следующему расписанию:
в 9.00 новость узнают 40+27 ·3=121 (человек);
9.15 121+81 ·3 =364 (человек);
9.30 364+243 ·3=1093 (человек);
9.45 1093+729 ·3=3280 (человек);
10.00 3280 + 2187 ·3 =9841(человек).

О поселковых слухах.

геометрической прогрессии.
В данном случае: q = 3, b1 = 1, Sn = 8000, n –неизвестно.
Подставляя известные числа в формулу, получим:




Чтобы найти n , заметим, что 36 = 729, 32 =9,
38 = 36· 32= 729 · 9=6561, 39=19683.
Значит, n должно быть не меньше 9. При n = 9 имеем:

- это стихотворный размер с ударением на четных слогах 2; 4; 6; 8... Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью прогрессии 2.
Хорей - это стихотворный размер с ударением на нечетных слогах стиха. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию 1; 3; 5; 7...пгн
Примеры:
Ямб: «Мой дЯдя сАмых чЕстных прАвил...»
Прогрессия: 2; 4; 6; 8...
Хорей: «Я пропАл, как звЕрь в загОне» Б. Л. Пастернак
Прогрессия: 1; 3 ;5; 7...
«бУря мглОю нЕбо крОет»
прогрессия 1; 3; 5;7. А.С. Пушкин.

Прогрессии в литературе.

говорить о том, кто их открыл.
Выяснили, что в развитие теории о прогрессиях внесли ученые Архимед, Пифагор и его ученики, французский математик Леонардо Фибоначчи.
Нашли много задач на арифметическую и геометрическую прогрессию в старых и в современных учебниках по математике. Заметили, что арифметическая прогрессия в практических задачах встречается чаще геометрической.
Обнаружили, что интенсивное размножение бактерий в геометрической прогрессии широко применяется в пищевой промышленности, в фармакологии, в медицине, в сельском и коммунальном хозяйствах, в банковских расчетах (начисление сложных процентов).
 

Вывод.