Презентация, доклад на тему Теорема Менелая

Пахомова О.В.

треугольника ABC взяты соответственно точки C1, A1 и B1. Точки A1, B1, C1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство
Доказательство. Необходимость.
Предположим, что точки A1, B1, C1 принадлежат одной прямой a (рис. 1).
Через вершину C треугольника ABC проведем прямую, параллельную a и обозначим через C' точку ее пересечения с AB. Из подобия треугольников AC'C и AC1B следует выполнимость равенства
Аналогично, из подобия треугольников BC'C и BC1A1следует выполнимость равенства
Перемножая эти равенства, получим равенство

из которого следует требуемое равенство.

C1 принадлежат одной прямой a. Из вершин треугольника ABC опустим на эту прямую перпендикуляры AA’, BB’, CC’ (рис. 2). Из подобия треугольников AC1A’ и BC1B’ следует равенство Аналогично, из подобия треугольников BA1B’ и CA1C’, B1CC’ и B1AA’ следуют равенства
Перемножая три эти равенства, получим требуемое равенство
Достаточность.
Пусть на сторонах AB, BC и продолжении стороны AC треугольника ABC взяты соответственно точки C1, A1и B1, для которых выполняется равенство (*). Прямая A1B1пересекает прямую AB в точке C'. По доказанному, выполняется равенство

Учитывая равенство , получаем равенство
из которого следует совпадение точек C' и C1.
Значит, точки A1, B1, C1 принадлежат одной прямой.

(рис. 3). Точка B1 лежит на продолжении стороны AC и AC = CB1. В каком отношении делит прямая B1C1 сторону BC?
Решение.
По условию,
 Используя теорему Менелая, находим

граней, пересекаются в одной точке, называемой центроидом тетраэдра, и делятся в ней в отношении 3:1, считая от вершин.
Доказательство.
Действительно, пусть ABCD – тетраэдр, A2, D2 – центроиды соответствующих граней, A1 – середина BC, O – точка пересечения AA2 и DD2 (рис. 4). Применим теорему Менелая к треугольнику A1DD2 и прямой AA2. Имеем
Так как A2 –точка пересечения медиан треугольника BCD, то
Так как D2 – точка пересечения медиан треугольника ABC, то  
Поэтому  
Заметим, что в таком же отношении делят отрезок DD2 прямые BB2 и CC2. Следовательно, они также проходят через точку O и делятся в ней в отношении 3:1, считая от вершин.

медианы. Прямая ВО пересекает сторону АС в точке К.
В каком отношении точка К делит АС, считая от точки А?
Решение:
Пусть ВD = DС = а, АО = ОD = m. Прямая ВК пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника АDС . По теореме Менелая .

стороне РR – точка L, причем NQ = LR. Точка пересечения отрезков QL и NR делит QR в отношении m : n, считая от точки Q. Найдите PN : PR.
Решение:
По условию NQ = LR, . Пусть NA = LR = a, QF =km, LF = kn. Прямая NR пересекает две стороны треугольника PQL и продолжение третьей. По теореме Менелая
.
 

которые биссектриса большего угла этого треугольника разделена центром окружности, вписанной в треугольник.
Решение:
Пусть в треугольнике АВС АВ = 5, ВС = 7, АС = 6. Угол ВАС лежит против большей стороны в треугольнике АВС, значит, угол ВАС – больший угол треугольника. Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении биссектрис. Пусть О – точка пересечения биссектрис. Необходимо найти АО : ОD. Так как АD – биссектриса треугольника АВС, то , то есть BD = 5k, DС = 6k. так как BF – биссектриса треугольника АВС, то , то есть AF = 5m, FC = 7m. Прямая BF пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника ADC. По теореме Менелая .

жизни и деятельности определяется приведенными в "Алмагесте" Птолемея двумя астрономическими наблюдениями, которые Менелай произвел в Риме в первом году царствования Траяна, т. е. в 98 г. после Р. Х. Менелаем были написаны два сочинения: "О вычислении хорд", в 6 книгах, и "Сферика", в 3 книгах. Из них первое совсем не дошло до нас. Утрачен также и греческий оригинал второго, содержание которого известно современной науке по его латинским переводам, составленным по взаимно подтверждающим друг друга арабским и еврейским переводам того же сочинения. Из латинских переводов лучшим считается перевод Галлея (Оксфорд, 1758). Главным предметом "Сферики" Менелая служит сферическая тригонометрия. Из числа многих предложений, для нас впервые встречающихся в этом сочинении, самым замечательным считается обыкновенно теорема Менелая, которая прежде называлась правилом шести количеств (regula sex quantitatum). Содержание ее состоит в следующем. Если все стороны треугольника пересечь прямой, то произведение их трех отрезков, из числа не имеющих общих концов, равно произведению таких же трех остальных отрезков.

прикладные задачи позднеантичной и средневековой астрономии и геодезии. Ей посвящён ряд сочинений под названием «Книга о фигуре секущих», составленных такими математиками средневекового Востока, как Сабит ибн Корра, ан-Насави, ал-Магриби, ас-Сиджизи, ас-Салар, Джабир ибн Афлах, Насир ад-Дин ат-Туси. Сам Менелай, впрочем, выражал свою теорему не в этой форме, вошедшей в употребление только с XVI в., а в виде пропорции a1:b1=b2b3:a2a3, в которой буквы a1, a2 и а 3 и, соответственно, буквы b1, b2 и b3 обозначают не имеющие общих концов отрезки трех сторон треугольника. Словесным выражением этой пропорции было предложение: а 1 находится к b1 в таком же сложном отношении, в каком находятся b2 к а 2 и b3 к a3. В "Сферике" Менелая эта теорема прилагается с соответствующими изменениями также и к сферическому треугольнику. Менелай известен еще и как геометр, работавший в области изучения кривых высших порядков. Особенным его вниманием, по словам Паппа Александрийского, пользовалась кривая линия, которая была названа им необыкновенной или чудесной линией, παραδοξος γραμμή. Какая это была кривая, из слов Паппа, однако же, определить нельзя.