Презентация, доклад Применение подобия на практике

kolomycevanatalya@mail.ru МКОУ Калачеевская СОШ №6 ,г. Калач

Руководитель: учитель математики школы №6, г. Калач
Кашкина Антонина Владимировна
Научный консультант: кандидат физико-математических наук
доцент кафедры математики ВГТУ,
Стенюхин Леонид Витальевич

Всероссийский Конкурс исследовательских проектов,
выполненных школьниками при научном консультировании
Ученых Международной ассоциации строительных вузов
Воронежский государственный технический университет
Секция математики
Номинация 8-9 классы

III. Заключение
IV. Библиографический список

работы:
1.Изучить научную литературу по данной теме.
2.Уметь применять признаки подобия треугольников при решении геометрических задач на местности.
3. Разобрать решения задач различного уровня сложности, решаемые методом подобия.
4.Показать применение подобия треугольников на примере измерительных работ.

Актуальность работы заключается в том, что в ней показано как без каких - либо инструментов, можно измерить высоту дерева, ширину реки, расстояние до недоступной точки.

Введение

Гипотеза: С помощью подобия треугольников можно выполнять измерения реальных объектов.

Методы исследования: Находить нужную литературу, обрабатывать информацию, выполнять и оформлять научно-исследовательскую работу с применением проектной технологии. Основной метод, который использовался в работе, - это метод систематизации и обработки данных.

такое подобные треугольники?

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.
Коэффициент подобия равен отношению сходственных сторон подобных треугольников. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

треугольника, то такие треугольники подобны.





Теорема 2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны.




Теорема 3.Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

1.2.Признаки подобия треугольников.

вычислил высоту пирамиды, измерив длину её тени. Фалес, говорит предание, избрал день и час, когда длина собственной его тени равнялась его росту. В этот момент высота пирамиды должна равняться длине отбрасываемой тени .

Немного из истории….

можно измерить, независимо от его размеров.
Недостатки:
-нужна тень, измерения производят только в солнечную погоду;
-надо точно знать момент времени, когда тень равна высоте;
-нельзя измерить в ночное или вечернее
время.

Самый простой способ измерения высоты предмета состоит в том, что в солнечный день можно пользоваться любой тенью, какой бы длины она ни была.

Способ Фалеса.

с помощью тени (метод Фалеса)
Измерив свою тень или тень какого-нибудь шеста, вычисляют искомую высоту из пропорции  AB :ab=BC:bc т.е. высота дерева во столько раз больше вашей собственной высоты (или высоты шеста), во сколько раз тень дерева длиннее тени человека (или тени шеста). Это вытекает из геометрического подобия треугольников ABC и abc (по двум углам).

свойствами равнобедренного прямоугольного треугольника, обратившись к весьма простому прибору, который легко изготовить из дощечки и трех булавок. На дощечке любой формы, даже на куске коры, если у него есть плоская сторона, намечают три точки – вершины равнобедренного  прямоугольного треугольника – и в них втыкают по булавке .

измерить высоту;

Можно производить измерения в любую погоду;

Это не займёт больших усилий .

Прибор не всегда может быть под рукой;

Иногда бывает погрешность в измерении.

При отсутствии тени в пасмурную погоду можно воспользоваться способом измерения, который живописно описал Жюль Верн в известном романе
« Таинственный остров».
Можно обойтись даже и без булавочного прибора. Здесь нужен шест, который придется воткнуть отвесно в землю так, чтобы выступающая часть как раз равнялась росту человека. Место для шеста надо выбирать так, чтобы, лежа, как показано на рис. 6,  было видно верхушку дерева на одной прямой линии с верхней точкой шеста. Так как треугольник Abc – равнобедренный и прямоугольный, то угол А=

и, следовательно, АВ равно ВС, т.е. искомой высоте дерева.

нельзя измерить высоту предмета, не испачкавшись, так как приходиться ложиться на землю.

Способ Жюль Верна

карандаша

В качестве прибора для приблизительной оценки недоступной высоты можно использовать карманную записную книжку и карандаш. Она поможет построить в пространстве те два подобных треугольника, из которых получается искомая высота.

Книжку надо держать возле глаз так, как показано на упрощенном рисунке. Она должна находиться в отвесной плоскости, а карандаш выдвигаться над верхнем обрезом книжки настолько, чтобы, глядя из точки а видеть вершину В дерева покрытой кончиком b карандаша. Тогда вследствие подобия треугольников abc и аВС высота ВС определяется из пропорции BC : bc=aC:ac

EFD (по двум углам):
 ВАD= FED=90°;
АDВ = EDF, т.к. угол падения равен углу отражения.
В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны:

показано на фото, отходим в сторону до того момента, пока в зеркале не отразится край измеряемого объекта.

зеркало

A

B

D

E

F

до зеркала – 2 м
Расстояние от человека до зеркала – 0,9 м
Высота стены -?

высоту стены FE:

Поставляем исходные данные в полученную формулу и вычисляем:

дополнительные приспособления.
Недостатки:
сложно поймать отражение в зеркале;
ровная поверхность;
нужен подход к предмету;
нельзя измерить высоту предмета в густом насаждении, применяется только к одиноко стоящему дереву.

прямоугольную пластинку размером 10Х 10 см с закрепленным в точке А отвесом, шкалой на стороне ВС и визирами в точках А и D. Наведя с помощью визиров сторону AD на вершину дерева Е и заметив деление шкалы, которое показывает отвес AF, лесник с помощью несложной формулы и находит высоту дерева. Пусть, например, BF = 3 см. Докажем, что Н - h = 0,3d

где Н — высота дерева, h — высота человека на уровне глаз, d — расстояние от дерева до человека (все размеры в метрах).
Решение. Так как 

GEA=

AFB,  то прямоугольные треугольники EGA 

или 

и FBA подобны. Поэтому

Итак, я рассмотрела различные методы определения расстояний, все о ни основаны на применении признака подобия треугольников по двум углам.

треугольник)

Инструменты: планшет с прямоугольным равнобедренным треугольником, рулетка.
Катеты прямоугольного равнобедренного треугольника равны 19 см. Расстояние от меня до столба ВD = 6,12 м, мой рост до глаз DЕ= 1, 55м. Так как треугольник на планшете и треугольник ВСD подобны и оба прямоугольные равнобедренные, то ВС = ВD. Значит АС = ВС + АВ = ВС + DЕ = 6,12 + 1,55 = 7,67(м)

Ширина книги = 12,5 см, карандаш выдвинулся над книгой на расстояние 7см, расстояние от меня до столба АЕ = 11м, мой рост до глаз DЕ = 1,55м.

СВD подобен

значит ВС : ВD = IK : KD

IKD по двум углам,

ВС : 0,07 = 11: 0,125 , ВС = 6,16,

ВС +АС = ВС + АВ = DЕ = 6,16 + 1,55 = 7,71(м)

рулетка.

Положив зеркало I на землю, я передвигала его до тех пор, пока не увидела в нём отражение нижнего изолятора. Измерила расстояния АI = 8,9 м, IE = 1,88м, мой рост до глаз DE = 1,55 м.

АСI подобен

IЕD по двум углам.

АС : DE = АI : IE

АС : 1,55 = 8,9 : 1,88

АС = 7,34

я составила следующую таблицу:

Хорошую точность даёт метод измерения с помощью зеркала, вместо зеркала можно использовать лужицу. Этот метод предусматривает меньше вычислений, так как не нужно прибавлять рост человека. Оставшиеся два метода тоже дают небольшую погрешность, и вполне применимы для измерений.
Вывод: все методы применимы для использования в повседневной жизни, но самым оптимальным является метод нахождения высоты предмета с помощью зеркала.

Заключение.

Изучение темы «Подобие» и практические работы на местности обогатили меня новыми знаниями, расширили кругозор по геометрии. Мною были изучены различные способы измерения высоты предмета. Полученные знания достаточно легко применяются на практике. Высоту столба, дерева можно измерить разными способами: с помощью лужи, зеркала, используя шест, и специальные приспособления. Исследованные мною методы дают результаты с минимальной погрешностью. В результате исследовательской деятельности мною сделан буклет, в котором описываются все методы измерения высоты предмета. Эта информация будет полезна участникам турслётов, альпинистам, горнолыжникам, туристам. В дальнейшем я продолжу работу над этой темой, рассматривая следующие задачи: измерение глубины и ширины реки, озера, оврага. Моя гипотеза ,о том, что при помощи подобия треугольников можно выполнять измерения реальных предметов подтвердилась.

измерения на местности», Москва, «Недра», 1983г, 110с.

3.Г.И.Глейзер «История математики в школе», Москва, «Просвещение», 1982г, 240с.

4.Детская энциклопедия. Том 1. Земля.. Москва, «Просвещение», 1964г, 470с.

5.Энциклопедия «Математика», Москва, «Аванта+»

6.Энциклопедический словарь юного математика, Москва, «Педагогика», 1983г, 365 с.