Презентация, доклад Использование теоремы Виета при решении рациональных уравнений

и обладают собственным разумом, что они умнее нас, умнее даже тех, кто их открыл, что мы получаем из этих формул больше, чем в них было изначально заложено.

Генрих Герц

учебника, путём обобщения теоремы Виета для уравнений высших степеней и применения специальных методов решения задач.

Доказать теорему Виета для кубических уравнений и уравнений четвёртой степени;
Убедиться в практичности применения данной теоремы;
Углубить математические знания в области решения уравнений;
Развить интерес к математике.

буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для коэффициентов уравнений; благодаря этому стало впервые возможным выражение свойств уравнений и их корней общими формулами.
Ему принадлежит установление единообразного приёма решения уравнений 2-й, 3-й и 4-й степеней.
В тригонометрии Франсуа Виет дал полное решение задачи об определении всех элементов плоского или сферического треугольника по трём данным. 

метод решения неприводимого кубического уравнения. Виет применил его для решения древней задачи трисекции угла, которую свёл к кубическому уравнению.
Виет дал первое в Европе аналитическое представление числа π, правильно вычислив 9 десятичных знаков.


Полное аналитическое изложение теории уравнений первых четырёх степеней.
Идея применения трансцендентных функций к решению алгебраических уравнений.
Оригинальный метод приближённого решения алгебраических уравнений.
Частичное решение задачи Аполлония о построении круга, касающегося трёх данных, в сочинении Apollonius Gallus (1600). Решение Виета не подходит для случая внешних касаний
Умер Франсуа Виет в возрасте 63 лет в 1603г.

– корни многочлена n-ой степени то справедливы равенства:









Эти равенства называются формулами Виета. Выпишем их отдельно для многочленов второго, третьего и четвертого порядков.

= 0 равна коэффициенту p, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену q:




В общем случае (для неприведенного квадратного уравнения):

то оно имеет два корня, сумма которых равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:
Докажем, что равенства x1 + x2 = −b и x1 × x2 = c имеют место быть.
Вспомним формулы корней квадратного уравнения:
Найдём сумму корней x1 и x2.
Для этого подставим в выражение x1 + x2 вместо x1 и x2 соответствующие выражения из правой части формул корней квадратного уравнения. Не забываем, что в приведённом квадратном уравнении x2 + bx + c = 0 старший коэффициент a равен единице. Тогда в процессе подстановки знаменатель станет равен просто 2
Запишем правую часть в виде дроби с одним знаменателем:
Раскроем скобки в числителе и приведём подобные члены:
Сократим дробь   на 2, тогда получим −b
Значит x1 + x2 действительно равно −b
x1 + x2 = −b
Теперь аналогично докажем, что произведение x1 × x2 равно свободному члену c.

коэффициент a всё ещё равен единице:
Чтобы перемнóжить дроби, нужно перемнóжить их числители и знаменатели:
В числителе теперь содержится  (a + b)(a − b). Воспользуемся тождеством (a + b)(a − b) = a2 − b2. Тогда в числителе полýчится   А знаменатель будет равен 4
Теперь в числителе выражение (−b)2 станет равно b2, а выражение   станет равно просто D
Но D равно b2 − 4ac. Подстáвим это выражение вместо D, не забывая что a = 1. То есть вместо b2 − 4ac надо подставить b2 − 4c
В получившемся выражении раскроем скобки в числителе и приведём подобные члены:
Сократим получившуюся дробь на 4
Значит x1 × x2 действительно равно c.
x1 × x2 = c
Таким образом, сумма корней приведённого квадратного уравнения x2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знáком (x1 + x2 = −b), а произведение корней равно свободному члену (x1 × x2 = c).
Теорема доказана.

формулы:


то х1 и х2 – корни уравнения

х1+х2=-p,

х1·х2=q

х2+px+q=0

теоремы, обратной теореме Виета примет следующий вид:
Если числа m и n таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знáком, а произведение чисел m и n равно свободному члену уравнения x2 + bx + c = 0, то числа m иn являются корнями уравнения x2 + bx + c = 0
Для начала запишем, что сумма m и n равна −b, а произведение mn равно c
Чтобы доказать, что числа m и n являются корнями уравнения x2 + bx + c = 0, нужно поочередно подстáвить буквы m и n в это уравнение вместо x, затем выполнить возможные тождественные преобразования. Если в результате преобразований левая часть станет равна нулю, то это будет означать, что числа m и n являются корнями уравнения x2 + bx + c = 0.
Помимо букв m и n нам нужно знать чему равен параметр b. Выразим его из равенства m + n = −b. Легче всего это сделать, умножив обе части этого равенства на −1
Теперь всё готово для подстановок. Подстáвим  m в уравнение x2 + bx + c = 0 вместо x, а выражение −m − n  подставим вместо b
Видим, что при x = m получается верное равенство. Значит число mявляется корнем уравнения x2 + bx + c = 0.
Аналогично докажем, что число n является корнем уравнения x2 + bx + c = 0. Подставим вместо x букву n, а вместо c подставим mn, поскольку c = mn.
Видим, что при x = n тоже получается верное равенство. Значит число n является корнем уравнения.
Следовательно, числа m и n являются корнями уравнения x2 + bx + c = 0.

корня

a>0,c>0,D>0
2 различных корня

a>0,c>0,D<0

Нет корней

px + q = 0
Перемножим двучлены (х - x1) и (х - x2) :
(х - x1)(х - x2) = x2 - (x1+ x2)х + x1x2 ,
Тогда, сравнивая с исходным уравнением можно записать систему :

x3 + bx2 + cx + d = 0, то

исходного кубического уравнения, получаем: (х-x1)(х-x2)(х-x3) = x3 – (x1+x2+x3 ) x2+(x1x2+ x1x3 + x2,x3)х - x1x2x3
следовательно, имеет место следующая система равенств:

ax3 + bx2 + cx + d = 0, то x1+x2+x3=- b/a
(х1*х2+х1*х3+х2*х3)= с/а
х1*х2*х3=-d/a
есть суть теоремы Виета для кубического уравнения.

раскладывают на простые множители, затем поочередно выбирают значения «x», равные одному из этих множителей с различными знаками. Эти значения х проверяют, подставляя их в исходное равенство. Таким способом иногда удается найти первый корень кубического уравнения х1. Для нахождения остальных корней надо соответствующий многочлен разделить на выражение (х-х1), при этом в частном получается квадратный трехчлен. Корни получившегося квадратного трехчлена также являются корнями кубического уравнения. Таким образом 6=1*2*3, т.е.корни уравнения могут быть числа 1 или -1,2 или-2,3 или-3. Способом подстановки выясняем, что х1=-1.Разделим многочлен х3-4х2+х+6 на (х+1) и получим трехчлен
х2-5х+6, т.е.х3-4х2+х+6=(х+1)*(х2-5х+6)=0.
Найдем корни квадратного уравнения х2-5х+6=0 по теореме Виета: х1=2 и х2=3.
Таким образом исходное кубическое уравнение имеет три действительных корня:
х1=-1, х2=2, х3=3.

то х1+х2+х3=4
Х1*х2+х1*х3+х2*х3=1,
Х1*х2*х3=-6
Методом подбора находим: (-1)*2*3=-6
(-1)+2+3=4
(-1)*2+(-1)*3+2*3=1,
т.е корни уравнения
х1=-1,х2=2, х3=3.

теореме Виета имеем:
х1+х2+х3=6
х1*х2*х3=6
х1*х2+х1*х3+х2*х3=11
Т.к. (х1+х2+х3)2=х12+х22+х32+2(х1*х2+х1*х3+х2*х3), то получим 62=х12+х22+х32+2*11
36-22= х12+х22+х32
х12+х22+х32=14 Ответ: 14

х2=3,х3=4, тогда




А теперь составим приведенное кубическое уравнение вида x3+ax2+bx+c=0, корнями которого являются -5, 3, 4.
Это будет уравнение x3-2x2-23x+60=0

четвертой степени
x4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0, то

но не умели их найти; задачи, которые они считали наиболее трудными, совершенно легко решаются десятками с помощью нашего искусства, представляющего поэтому самый верный путь для математических изысканий.

деятельности Ф. Виета, его вкладе в математику, ознакомился с формулами для решения приведенных уравнений третьей и четвертой степени, закрепил новые знания, с помощью решения задач.
Умение использовать теорему Виета, во многом облегчает решение математических и физических задач в курсе средней школы. Особенно этот навык незаменим при подготовке к ЕГЭ.
Таким образом, теорема Виета помогает быстро находить корни квадратного уравнения, она применима к решению уравнений высших степеней. В ряде случаев при решении уравнений высших степеней удобнее применять Теорему Виета и с ее помощью решение будет рациональнее.
Это исследование было для меня очень познавательным. Углубив свои знания в математике, я открыл для себя много полезного и интересного.