Презентация, доклад на тему Вычисление площади криволинейной трапеции. Алгебра и начала мат. анализа. 11 кл

Романова Т.А.

Определение:
Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком неотрицательной и непрерывной на отрезке [a; b] функции f , осью Ох и прямыми х = а, х = b .

Площадь криволинейной трапеции

Изображения криволинейных трапеций:

могли вычислить площадь любой фигуры, например, площадь вашего тела, Математический анализ вообще разработан во  времена, когда компьютеров еще не было и, соответственно, площадь под любой кривой подсчитать было невозможно, только под той, у которой находится первообразная в виде аналитической функции.
Сейчас эту площадь можно посчитать с хорошей степенью точности, используя методы математических вычислений, но это не освобождает от знаний основ математического анализа, на основании которых эти методы строятся.

Отступление

b] функция , а F – ее первообразная на этом отрезке , то площадь S соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке [a; b] , т.е.

Теорема:

Теорема о вычислении площади криволинейной трапеции

b] . Если a < x ≤ b , то S( x ) – площадь той части
криволинейной трапеции , которая расположена левее вертикальной
прямой , проходящей через точку М ( x: 0 ) ( рис 2.а)

Если x = a , то S ( a ) = o . Отметим , что S ( b) = S ( S – площадь
криволинейной трапеции ) .
Нам осталось доказать , что S' ( x ) = f ( x ) (2)
По определению производной
докажем, что ΔS(x) → f ( x ) (3)
Δ x
при Δ x →0

Δ x > 0 . Поскольку ΔS ( x) = S ( x + Δ x )- S(x),
то ΔS ( x) – площадь фигуры , заштрихованной на рисунке 2, б.
Дальнейшее доказательство рассмотрите самостоятельно.
Итак , мы получили, что S есть первообразная для f . Поэтому
в силу основного свойства первообразных для всех x, принадлежащих
промежутку [ a ; b ] . имеем :
S ( x ) = F (x) + C ,
где C – некоторая постоянная , а F – одна из первообразных
для функции F . Для нахождения C подставим х = а :
F ( a ) + C = S ( a ) = 0,
откуда C = - F (a ) . Следовательно ,
S ( x ) = F( x ) – F ( a ). (4)
Поскольку площадь криволинейной трапеции
равна S ( b ) , подставляя x = b в формулу ( 4 ) ,
получим:
S = S ( b ) = F ( b ) – F ( a ).

Доказательство

непрерывна (рис. 17.1).

точками
на элементарных отрезков
Обозначим выберем произвольные точки и построим ступенчатую фигуру из прямоугольников с высотами и основаниями Площадь ступенчатой фигуры и дает приближенное значение площади криволинейной трапеции. За точное значение площади естественно принять

у = 4 - х²и у=0
Решение:
1. Построим криволинейную трапецию:
у = 4 - х²- квадратичная функция, график – парабола, ветви направлены вниз. у = 0 - ось абсцисс.
2. Найдём [а; b]:
4-х² = 0; х² = 4 х = -2 или х = 2, т. е. а = -2 b = 2
3. Найдём площадь криволинейной трапеции по формуле:
S = F(b) – F(а)
S=F(2)-F(-2)=10,(6).

Пошаговый пример

F(x) – первообразная функции f(x).

Может ли быть функция f отрицательной на отрезке [a; b]? Почему?
Определение первообразной.
Правила нахождения первообразных.
Если f – … на отрезке [a; b] функция , а F – ее первообразная на этом отрезке , то площадь S соответствующей криволинейной трапеции равна … ? Чему?

Контрольные вопросы

первообразных функции f.
Найдем С:
1 способ
Если х = 1, то F(1) = 9, А (1; 9) – точка касания
т.е. F(1) = 1 + 4 +С = 9.
5 + С = 9, С = 4

Найти первообразную функции f(x) = 2x + 4, график которой проходит через точку А(1,9)

Решение

№ 345

первообразных функции f.
Найдем с:
1 способ
Т.к. график функции F касается прямой у = 6х + 3, то по геометрическому смыслу производной F ’(x) = k, F ‘(x) = 6, 2x + 4 = 6, x = 1.
Если х = 1, то у = 6 + 3 = 9. А (1; 9) – точка касания.
Т.к. парабола проходит через т.А, то F(1) = 9
F(1) = 1 + 4 + c = 5 + c, 5 + c = 9, c = 4

2 способ
Т.к. парабола и касательная имеют только одну общую точку, то уравнение x2 + 4x + c = 6х + 3 имеет единственный корень (D = 0), тогда
x2 – 2x + c – 3 = 0
D1 = 1 – c + 3 = - с + 4, - с + 4 = 0, с = 4

Следовательно, F(x) = x2 + 4x + 4

а) Найти первообразную функции f(x) = 2x + 4, график которой касается прямой у = 6х + 3.

б)Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком найденной первообразной и прямыми у = 6х + 3, у = 0.

у = 6х + 3 и y = 0 в одной системе координат.
Найдем абсциссу точки С из уравнения:

- пределы интегрирования

+ 4x – 3 в точках х = 0 и х = 3.
y = f(x0) + f ‘(x0)(x – x0) – уравнение касательной в общем виде

Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой
у = - х2 + 4х – 3 и касательными к ней в точках с абсциссами
х = 0 и х = 3.

x0 = 0

1) f(0) = - 3
2) f ‘(x) = - 2x + 4
3) f ‘(0) = 4
4) y = - 3 + 4(x – 0)
y = 4x – 3

x0 = 3

1) f(3) = - 9 + 12 – 3 = 0
2) f ‘(3) = - 2

3) y = - 2(x – 3)
y = - 2x + 6

Построим графики функций у = - х2 + 4х – 3, y = 4x – 3, y = - 2x + 6 в одной системе координат:

у = - х2 + 4х – 3 – графиком является парабола. (2; 1) – вершина параболы

x + 2
На (2; 3], |x – 2| = x - 2

Решение

и неотрицательна на [- 2; 3 ], то по геометрическому смыслу интеграла: