Презентация, доклад на тему Учебный проект по математике Теория игр

а эти исследования, в свою очередь, способствуют возникновению новых математических понятий.
Теория игр (более подходящее название - теория конфликта, или теория конфликтных ситуаций) зародилась как теория рационального поведения  двух игроков с противоположными интересами.

В 30-е годы этот вопрос поставил выдающийся американский математик Джон фон Нейманн. В результате его исследований возник новый, очень важный, раздел математики — «теория игр». Американский учёный пришёл к выводу, что с математической точки зрения можно рассматривать также такие общественные явления первостепенной важности, как соперничество в области производства или торговли, военные действия и другие. Ах, эта математика!
Видимо, нигде и никому не обойтись без неё!
Везде математика приходит нам на помощь.

решений в условиях конфликта. Возникнув из задач классической теории вероятностей, теория игр превратилась в самостоятельный раздел в 1945–1955. Таким образом, теория игр – один из новейших разделов математики

ненулевой суммой. Игры двух игроков с нулевой суммой называются антагонистическими.
По полноте имеющейся информации – на игры с полной и неполной информацией.
По характеру получения информации — на игры в нормальной форме (игроки получают всю предназначенную им информацию до начала игры) и динамические игры (информация поступает игрокам в процессе развития игры).
По характеру информационного взаимодействия – игры с сообщениями или без оных. Сообщения могут содержать, например, предложения или угрозы.
По количеству стратегий — на конечные и бесконечные игры.
По количеству розыгрышей игры – на однократно разыгрываемые и повторяющееся игры.
 

человеку дисциплину ума.
Теория игр всегда имеет дело с особым типом мышления, стратегическим.
Человек, знакомый с теорией игр, реже считает других глупее себя, - и потому избегает многих непростительных ошибок.
Теория игр не рассчитана на то, чтобы придать решительности, настойчивости в достижении целей, невзирая на неопределенность и риск.
Знание основ теории игр не дает нам  явного выигрыша, но  оберегает нас от свершения глупых и ненужных ошибок.

крестики и нолики можно назвать конечной (то есть доигрываемой до конца за конечное число ходов) строго детерминированной (то есть не содержащей элемента случайности) игрой двух сторон с полной информацией. Последнее означает, что обоим игрокам известны все сделанные ходы. Если обе стороны играют «рационально», игра должна закончиться вничью. Единственный способ выиграть заключается в том, чтобы заманить неосторожного противника в ловушку, заготовив для следующего своего хода два почти готовых ряда (противник может помешать достроить лишь один ряд).

наилучшее решение. Он обеспечивает себе наибольший выигрыш, по сравнению с любым другим игроком, который от него отличается. Если бы мы могли описать поведение такого игрока, то мы смогли бы ответить на вопрос: как надо играть, и решили бы задачу теории игр

нашей эры были известны гораздо более интересные с математической точки зрения варианты крестиков и ноликов, чем тот, в который принято играть в наше время. Во всех этих вариантах для игры нужно взять шесть фишек, по три у каждого игрока (у одного, например, три монеты одного достоинства, а у другого три монеты другого), и доску.

Китай, дельта реки Хуанхэ. Считается, что именно там она появилась впервые в 20 веке до нашей эры, и таким образом история этой игры насчитывает уже более 4000 лет.
Современное название этой игры – «Рэндзю», что в переводе с китайского значит «нить жемчуга».
В 270 г до н.э. игра была завезена в Японию, и там получила свое второе рождение.
В 1906 году была создана Токийская Ассоциация Рэндзю. С этих пор игра стала «спортивной» игрой. Постепенно игра вышла и на международный уровень

цвета, расположенных на одной горизонтальной, вертикальной или диагональной линии. Непрерывный ряд - Набор камней одного цвета, расположенных на одной горизонтальной, вертикальной или диагональной линии в котором между любыми двумя камнями нет пустых пересечений.
Процесс игры
Два игрока (Черные и Белые), поочередно, размещают камни своего цвета, по одному за ход, на пересечениях пустой игровой доски, которая состоит из 15 горизонтальных и 15 вертикальных линий. Первый ход всегда делают Черные в центр доски.

проходит на расчерченной в клетку доске размером 15 на 15 линий.
Игроки делают ходы по очереди. Первыми ходят чёрные. Каждым ходом игрок выставляет на доску, в точку пересечения линий, один камень своего цвета. Побеждает тот, кто сможет первым построить непрерывный ряд из пяти камней своего цвета — по горизонтали, по вертикали или в диагональном направлении.

которых игра ведется на доске размером 4 клетки на 4. У каждого игрока имеется по четыре фишки, и их нужно попытаться выстроить в один ряд.
В шестидесятые годы появилась игра «тико» — разновидность крестиков и ноликов, для которой нужна доска размером пять клеток на пять. Каждый из игроков по очереди выставляет свои четыре фишки, а затем передвигает их на одну клетку в любом направлении. Выигрывает тот, кто сумеет либо поставить свои четыре фишки в ряд (по горизонтали, вертикали или диагонали), либо выстроит их в виде квадрата на четырех клетках с общей вершиной.
Играть в крестики и нолики можно и без фишек, от этого игра не становится менее увлекательной. Рассмотрим, например, игру в крестики и нолики «наоборот» — тоу-так-тик (это название предложил М. Шоделл). Играют в нее, как в обычные крестики и нолики, но тот, кто первым закончит ряд из трех знаков, не выигрывает, а проигрывает. В игре тоу-так-тик у второго игрока имеется бесспорное преимущество. Первый может закончить вничью, лишь заняв первым же ходом центр, а в дальнейшем повторив по симметрии все ходы противника.

детской забаве. Правда, даже в самом простом варианте игры число возможных комбинаций чрезвычайно велико (если ограничиться лишь пятью первыми ходами, то и тогда наберется 9x8x7x6x5 = 15120 различных вариантов), но на самом деле существенно различных вариантов немного, и любой мальчишка за час может стать непобедимым чемпионом. В то же время игра в крестики и нолики имеет и более сложные разновидности, и более глубокую стратегию.

Во избежание проигрыша второй игрок (ему принадлежат нолики) должен в каждом случае занять лишь одну из указанных клеток.

игрок за «крестики» ходит первым и поступает по приведенному выше алгоритму, а игрок за «нолики» может поступать как угодно (причем приведено по одной вершине для рационального и для нерационального поступка, то есть любого другого), состоит из 50-ти узлов.
 

хода. Очередь хода за «крестиками». Позиции дерева расположены уровнями. Очередь хода на каждом уровне отмечена в левой стороне рисунка.

ход является наилучшим в текущей позиции? Для игр с конечным деревом игры ответ на этот вопрос дает алгоритм Цермело-Куна.
Для таких игр нет особого смысла выписывать вектор выигрышей для каждой терминальной позиции. Достаточно указать лишь выигрыш одного какого-нибудь игрока, например первого. Выигрыш второго игрока всегда равен выигрышу первого, взятому с обратным знаком.
Назовем оценкой позиции выигрыш, гарантированный в ней первому игроку, то есть для терминальных позиций . В частности для позиций нижнего уровня на рис 1 оценки этих позиций равны (слева направо): 0, 1, 0, 1.

первым, назовём выигрышными, а в которых выигрывает второй — проигрышными.
Игрок ''выигрывает'' в данной позиции значит, что он имеет возможность ходить так, и так отвечать на ходы противника, чтобы выиграть у него, независимо от того, как противник будет ходить. Эта возможность + описание того, как нужно отвечать на ходы соперника, называется выигрышной стратегией. Другими словами, если игрок умный и ходит первым из выигрышной позиции, то он выиграет. Но как бы ни был умён игрок, он может проиграть, если будет ходить первым из проигрышной позиции.

игре в "крестики-нолики" на поле 3*3 при правильной игре первого игрока второй игрок выиграть не сможет.

Решение
Пусть первый игрок первым ходом ставит крестик в центр поля. У второго игрока есть две различные возможности: поставить нолик в угол или в середину боковой стороны. Как несложно проверить перебором, в каждом из этих случаев первый игрок может не допустить победы второго.
 

листе бумаги в клетку). Фолов нет. Построение длинного ряда (более 5) приносит победу.
Гомоку. Игра «5 в ряд» на доске 19х19 или 15х15 линий. Фолов нет. Построение длинного ряда не приносит победы ни одной из сторон.
5 в ряд с центральным запретным квадратом (ЦЗК). Другое название — «свободное рэндзю». На Западе именно эту разновидность игры называют «5 в ряд». Игра по правилам гомоку (фолов нет, длинный ряд не приносит победы) на доске 15х15 линий. Дополнительное правило: второй ход чёрных (то есть третий ход в партии) должен быть сделан за пределами центрального квадрата 5х5.
Пента. 5 в ряд на доске 19х19. Ряд из двух камней, закрытый с двух сторон камнями противника, становится «добычей» и снимается с доски. Второй ход чёрных делается за пределы центрального квадрата 5х5. Выигрывает тот, кто первым построил ряд из 5 или более камней, либо первым захватил 5 добыч. Пента — упрощённый вариант японской игры нинуки-рэндзю, распространённой в Японии в первой половине XX века.
Connect6 Интересная попытка уйти от искусственных ограничений рэндзю, уравняв возможности чёрных и белых за счёт порядка ходов. Игра идёт на доске 19×19, победа достигается построением ряда из шести камней или более. На первом ходе чёрные выставляют один камень, далее на каждом ходе игрок выставляет не один, а два камня за ход.

игрок не более чем утопия. Тем не менее, вопрос «как играть» остается. Рациональный игрок должен на основе всех своих знаний об игре и всей имеющейся информации о ее ходе выжать из игры максимум возможного и принять решение, которое в каком то смысле будет оптимальным.

номинации "Знания и обучение". "Крестики-нолики 3D" развивает пространственное мышление, учит планировать свои действия и ориентироваться в трехмерном пространстве.

Итак, как это выглядит?
Вообще-то, игру можно было назвать "Шарики-шарики". Никаких крестиков и ноликов здесь нет. Вместо них - красные и синие шарики 1, 5 см. Но поскольку использован принцип известной нетленной головоломки, название игры полностью себя оправдывает.
Роль «крестиков» и «ноликов» исполняют разноцветные шарики. Задача игроков – закрыть как можно больше линий шариками «своего» цвета.
Линиями в Настольной игре Крестики-нолики 3D считаются: - Горизонтали на верхнем, среднем и нижнем ярусе. - Вертикали по всему объему куба. - Диагонали, которые идут от верхних вершин куба через его центр к нижним вершинам. - Диагонали каждого яруса. - Диагонали каждой грани. - Линии, соединяющие середины противоположных ребер.