Презентация, доклад на тему Теория вероятностей

Теория вероятностей

произойти.
Например, после среды наступает вторник − невозможное событие.

Определение 2. Событие называется достоверным, если при
данных условиях оно обязательно произойдет.
Например, после зимы наступает весна – достоверное событие.

Определение 3. Событие называется случайным, если в данных
условиях оно может произойти, а может и не произойти.
Например, 1) при бросании игральной кости выпало 6 очков;
2) при бросании монеты выпал герб – случайные события.

1. При бросании симметричной монеты элементарных
событий два: «выпал герб», «выпала решка».
Пример 2. При бросании правильной игральной кости
элементарных событий шесть: «выпало одно очко»,
«выпало два очка», …, «выпало шесть очков».

Определение 5. Элементарные события, шансы которых
одинаковы, называются равновозможными.

Например, два элементарных события примера 1 и шесть
элементарных событий примера 2 равновозможны.

одновременно, называются несовместными, а те,
которые могут происходить одновременно – совместными.
Например, при одном бросании игральной кости события
«выпало четыре очка и выпало четное число очков» являются
совместными, а события «выпало три очка и выпало шесть
очков» являются несовместными.

Определение 7. События, при которых в данном испытании
происходит событие А, называются событиями,
благоприятствующими событию А.
Например, при одном бросании игральной кости событие
«выпало одно очко» является благоприятствующим
событию «появилось нечетное число очков».

исхода и m из них благоприятствуют событию А. Вероятностью события А называется число :


Следует отметить, что вероятность достоверного события равна единице, а невозможного − нулю. Таким образом,

Классическое определение вероятности

называется событие А В (А∩В),
означающее наступление событий и А и В.
Вероятность произведения двух событий определяется
по формуле:

− условная вероятность события B, при условии, что событие A произошло.

Определение 10. События А и В называются независимыми,
если

Произведение вероятностей

события, не благоприятствующие событию А, называется противоположным событию А.

Имеет место формула:

означающее наступление хотя бы одного из событий А или В.
Событие означает, что наступает либо А, либо В, либо А и В вместе.
Для двух несовместных событий имеет место формула:

меньше 4.

Решение. Обозначим искомое событие через А. При бросании одной игральной кости общее число n всех исходов равно 6. Благоприятствующими появлению события А являются исходы: выпало 1, 2 или 3 очка, т,е. m =3. По формуле (1)

очков. Найдите вероятность того, что при первом бросании выпало меньше 3 очков.

Решение. Посчитаем m и n:
n: 1+5, 2+4, 3+3, 4+2, 5+1
m : 1+5, 2+4.

Тогда

того, что в сумме выпадет 5 очков. Результат округлите до сотых.

Решение. Искомое событие обозначим через А. Так как каждое очко на первой кости может выпасть с каждым очком другой кости, то всего возможных исходов будет 6∙6=36. Для наглядности все эти 36 элементарных событий запишем в виде таблицы:

Благоприятствующие исходы выделены в таблице жирным шрифтом.
Всего их – четыре. Тогда по формуле (1) получим:

(с учетом того, что результат нужно округлить до сотых).

Ответ. 0,11.

того, что в сумме выпадет 16 очков. Результат округлите до сотых.

Решение.
Как и в предыдущей задаче, обозначим искомое событие через А. Очевидно, что общее число исходов будет равно 6∙6∙6=216, а благоприятствующих исходов шесть: 1) 4;6;6. 2) 5;5;6. 3) 5;6;5. 4)6; 5; 5.
5) 6; 4; 6. 6) 6; 6; 4.

По формуле (1) получим:

Ответ. 0,03.

что орел не выпадет ни разу.

Решение. При одном подбрасывании симметричной монеты выпадет орел (событие О) или решка (событие Р). При двух подбрасываниях монеты число случаев удвоится (в предыдущих двух случаях впереди появится О или Р): ОО, ОР, РО, РР. То же происходит и при подбрасывании монеты три раза, т.е. всевозможных исходов восемь: ООО, ООР, ОРО, ОРР, РОО, РОР, РРО, РРР. Если монету подбрасывают четырежды, то число возможных исходов 16: ОООО , ОООР, ,,,, РРРР. При этом орел не выпадет ни разу только в одном случае (РРРР). Снова обозначая интересующее нас событие через А, по формуле (1) получим:


Ответ. 0,0625.

того, что первые 2 броска окончатся одинаково.

Решение. Воспользуемся решением предыдущей задачи.
Для нашего случая m=4 (ООО, ООР, РРО, РРР), n =8 и P(A) = 0,5.
Ответ. 0,5.
Замечание. Аналогично решается задача: В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что только последние 2 броска окончатся одинаково (Ответ. 0,25).

среди них 9 прыгунов из Голландии и 2
прыгуна из Боливии. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что двенадцатым будет выступать прыгун из Голландии.

Решение. Искомое событие обозначим через А. Всего спортсменов 30
( ) , а благоприятствующих выступлению прыгуна из
Голландии − 9

Поэтому, под каким бы номером не выступал спортсмен
из Голландии, вероятность его выступления вычисляется
по формуле (1):

Ответ. 0,3.

США, 13 из Мексики, остальные — из Канады. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Канады.

Решение.
Здесь n = 50, m = 50 – (24+13) = 13.
По формуле (1) получаем:



Ответ. 0,26.

– по одному из каждой страны, в том числе из России. В первый день запланировано 20 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что выступление представителя России состоится в третий день соревнований.

Решение. В третий день выступают 10 спортсменок и среди них одна Россиянка. Значит, благоприятствующих исходов − 10, а всего исходов – 40. Тогда по формуле (1) получим:


Ответ. 0,25.

бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе и Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в I туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России.

Решение.
Так как бадминтонистов всего 26, то Руслан Орлов сможет играть с каким-то из 25 бадминтонистов, причем 9 из них – из России.
Следовательно, m=9 , n =25,


Ответ. 0,36.

делится на 5.

Решение.
Натуральное число делится на 5, если оно оканчивается на 5 или на 0.

I способ решения. В каждой десятке только 2 натуральных числа делятся на 5, поэтому искомая вероятность равна

100; 101 ... 999. Данная последовательность представляет арифметическую прогрессию с разностью d = 1 , По формуле n-го члена арифметической прогрессии

100 + 1⋅(n-1) = 999, находим

Заметим, что n можно было найти еще легче. Если все трехзначные
числа уменьшить на 99, то получим последовательность: 1, 2,…,900.
Значит, всего трехзначных чисел 900.

2) Найдем количество трёхзначных чисел, делящихся на 5:
100, 105, ... 995 . Данная последовательность представляет
арифметическую прогрессию с разностью d = 5(разность).
По формуле m-го члена арифметической прогрессии найдем m:
100 + 5(m-1) = 995, m= 180. Тогда искомая вероятность равна

оно делится на 51.

Решение. В предыдущей задаче мы нашли, что количество трех-
значных чисел равно Число благоприятствующих исходов можно
найти как число членов арифметической прогрессии, делящихся на
51. Но есть более легкий способ его нахождения. В 999 чисел
встречается , т.е. 19 чисел, кратных 51.
Но двузначное число 51 тоже делится на51. Поэтому трехзначных
чисел, делящихся на51 равно m =18. Тогда

деталей, из них 4% бракованных, второй завод выпускает 60% деталей, из них 3% бракованных. Найдите вероятность того, что случайно выбранная деталь окажется бракованной.

Решение. Пусть оба завода выпускают n деталей. По условию,
среди них окажется m = 0,4∙0,04 n+0,6∙0,03 n = 0,034 n бракованных.
Тогда

вероятность того, что оно будет иметь вид: натуральное число

Решение.
По условию

x натуральное число.
Следовательно, всего исходов − 20,
а благоприятствующих − 4 и

ирисок.
Каждую минуту Надя наудачу вынимает сласти из кармана по
одной и отправляет их в рот. Найдите вероятность того, что
через четыре минуты у Нади в кармане окажется 1 леденец и
6 ирисок. Результат округлите до тысячных.

Решение. Пусть А, В, С, Д – события, означающие, что через каждую минуту Надя извлекает из кармана леденец. Нам требуется определить вероятность произведения этих событий:

Ответ. 0,015.

батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная из упаковки батарейка будет забракована.

Решение: Обозначим события: − готовая батарейка исправна, − готовая батарейка неисправна, − система контроля забракует исправную батарейку, − система контроля забракует неисправную батарейку, А − интересующее нас событие. Тогда

+

Ответ. 0,0988.

деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19.

Решение. Обозначим события: − в понедельник в автобусе окажется меньше 15 пассажиров, − в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, – интересующее нас событие. Тогда

Ответ. 0,38.

чтобы определить, какая из команд начнѐт игру с мячом. Команда «Статор» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стартер». Найдите вероятность того, что «Статор» будет начинать только первую и последнюю игры.

Решение. Команда статор начинает игру обозначим О, начинает игру другая команда – Р. Тогда задача сводится к задаче о бросании симметричной монеты трижды. Здесь 8 исходов: ООО, ООР, ОРО, ОРР, РОО, РОР, РРО, РРР и только один из них (ОРО) – благоприятствующий.
Ответ. 0,125.

отличная, причѐм погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.

Решение. Снова обозначим события: A – погода не изменится, B − погода изменится, C – погода хорошая, D – погода отличная. Тогда последовательно получаем:
4 июля:

5 июля:

6 июля:

=

Ответ. 0,392.

Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даѐт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным

Решение. Снова введем события: − больные гепатитом, поступившие в клинику, − больные гепатитом, анализ которых положительный, − здоровые пациенты, поступившие в клинику, –у здоровых анализ положительный. Тогда вероятность интересующего нас события

+

Ответ. 0,0545.

верно решит больше 11 задач, равна 0,67. Вероятность того, что О. решит больше 10 задач, равна 0,74. Найдите вероятность того, что О. верно решит ровно 11 задач.

Решение. Пусть вероятность того, что О. решит больше 10 задач, учащийся О. верно решит больше 11 задач. Тогда искомая вероятность

- = 0, 07.

Ответ. 0,07.

-

должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание. Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5. Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

не менее 70 баллов, соответственно, по математике, по русскому языку, по обществознанию и по иностранному языку. Тогда

а вероятность искомого события А равна сумме вероятностей трех несовместных событий:

+

+

+

= 0,6∙0,8∙0,5∙0,7 +

+ 0,6∙0,8∙0,5∙0,3 + 0,6∙0,8∙0,5∙0,7 = 0,408.

Ответ. 0,408.

Андрей и Сергей. Класс случайным образом делят на две группы по 13 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе

Решение. Обозначим события: А - Андрей попадет в первую группу, - Сергей попал в эту же группу. По формуле нахождения вероятности произведения двух событий имеем:
=0,24.

Такой же результат получим, если ребята попадут во вторую группу. Тогда искомая вероятность равна 0,24∙2 =0,48.
Ответ. 0,48.

Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем — 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?

Решение. Задачу можно сформулировать по-другому: сколько выстрелов потребуется, чтобы вероятность непопадания была меньше или равна 0,02? Получаем неравенство:


Это неравенство впервые выполняется при n =5.
Ответ.5.

набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.

Решение. Введем события: В – выигрыш, Н – ничья, П – проигрыш, А – команда набрала не менее 4 очка. Событие А произойдет, если произойдет хотя бы одно из трех несовместных событий: ВВ, НВ или ВН. Тогда

Р(А) = Р(В)∙Р(В)+Р(Н)∙Р(В) +Р(В)∙Р(Н) =0,4∙0,4 +0,2∙0,4+ 0,4∙0,2=0,32.

Ответ.0,32.

точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещѐ не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придѐт к выходу.

каждого из которых равна , т.е.



Ответ.0,0625.

гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Решение. Пусть в первый день гроссмейстер А. играет белыми, а во второй день – черными. Искомая вероятность равна произведению 0,52∙0,3 =0,156.
Ответ.0,156.

0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

Решение. Введем события: А – ковбой Джон попал в муху, В - ковбой Джон попал в муху из пристрелянного пистолета, С - ковбой Джон попал в муху из непристрелянного пистолета. Тогда
0,4∙0,9 + 0,6∙0,2 = 0,48, а вероятность промаха

Ответ.0,52.

из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Дании будет выступать после группы из Швеции и после группы из Норвегии? Результат округлите до сотых.

Решение. Для данных стран возможны следующие шесть способов взаимного расположения: ДШН, ДНШ, ШДН, ШНД, НШД, НДШ и только два из них благоприятствуют интересующему нас событию (ШНД, НШД). Тогда вероятность искомого события равна 0,33.
Ответ.0,33.

в гарантийный ремонт, равна 0,045. В некотором городе из 1000 проданных DVD-проигрывателей в течение года в гарантийную мастерскую поступила 51 штука. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?

Решение. Частота события вычисляется по формуле

– отношение числа тех опытов, в которых событие произошло, к общему числу всех опытов. Чем больше число опытов, тем частота события близка к его вероятности Для нашего случая

0,006.

Ответ.0,006.

–

Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,88. Игорь Игоревич заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.

Решение. Пусть вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, вероятность того, что нужный товар доставят из магазина B. Тогда вероятность интересующего нас события будет равна (1 - )(1 - )= 0,2∙ 0,12 = 0, 024.
Ответ.0,024.

вероятность каждого из которых равна


Ответ:

Задача 31.(Прототипы ОГЭ 2014). В соревнованиях участвуют 4
спортсмена из Германии,6 спортсменов из Италии, 7- из России
и 5 -из Китая. Порядок выступления по жеребьевке.
Найти вероятность того, что спортсмен из Италии Джованни
Лучио будет выступать первым, вторым или третьим?

один из спортсменов из Италии не будет выступать первым, вторым или третьим) −


По формуле

находим

Ответ.

Задача 32.(Прототипы ОГЭ 2014). В соревнованиях участвуют
4 спортсмена из Германии,6 спортсменов из Италии, 7- из России
и 5 -из Китая. Порядок выступления по жеребьевке.
Найти вероятность того, что хотя бы один из спортсменов из
Италии будет выступать первым, вторым или третьим?

нас событие, П – попадание, -промах. Тогда А равно сумме произведений пяти независимых событий:

А = ППП +ППП П+ПП ПП+П ППП+ ПППП


Ответ. 0,4096

Задача 33. Биатлонист 5 раз стреляет по мишеням. Вероятность
попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите
вероятность того, что биатлонист попал в мишень четыре раза и
один раз промахнулся.

=

Ответ.

Задача 34. Вероятность дожить до 100 лет на настоящий момент без учёта текущего возраста для жителя Японии составляет 16%, Китая - 10%, Индии - 6%. Какова вероятность, что хотя бы один из трёх однокурсников Аристарха Луков-Арбалетова - японец, китаец и индус доживут до этого возраста, если после обучения в России вернутся жить в родные страны? (2015 год, ЕГЭ)

и 20% не выявленных дефектных тарелок:
   тарелок.
Поскольку качественных из них  0,9n , вероятность купить качественную тарелку равна
  Ответ.  0,98.

Задача 35. На фабрике керамической посуды 10 % произведенных
тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется
80 % из всех произведенных на заводе дефектных тарелок.
Остальные тарелки поступают в продажу. Найти вероятность того,
что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов.
Результат округлите до сотых (задача из прототипов ЕГЭ 2015 года)

вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.(Ответ: 0,07)
2. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 2 очка. Результат округлите до сотых. (Ответ: 0,03)
3. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 15 очков. Результат округлите до сотых. (Ответ: 0,05)

что орел выпадет ровно один раз.
(Ответ: 0,5)

5. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды.
Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.
(Ответ: 0,375)

6. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды.
Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.
(Ответ: 0,125)

9 из Бразилии, остальные — из Парагвая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Парагвая. (Ответ: 0,475)
8. В чемпионате по гимнастике участвуют 64 спортсменки: 20 из Японии, 28 из Китая, остальные — из Кореи. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Кореи.
(Ответ: 0,25)
9. В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 17 из России, 22 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая. (Ответ: 0,22)

подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает. (Ответ: 0,995)

11. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых. (Ответ: 0,92)

12.В среднем из 2000 садовых насосов, поступивших в продажу, 14 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает. (Ответ: 0,993)

3 спортсмена из Швеции, 8 спортсменов из Норвегии и 5 — из Финляндии.
Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Финляндии. (Ответ: 0,2)
14. В соревнованиях по толканию ядра участвуют
7 спортсменов из Греции, 8 спортсменов из Болгарии,
7 спортсменов из Румынии и 10 — из Венгрии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием.
Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Болгарии. (Ответ: 0,25)
15. В соревнованиях по толканию ядра участвуют
3 спортсмена из Македонии, 9 спортсменов из Сербии,
8 спортсменов из Хорватии и 10 — из Словении. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Сербии. (Ответ: 0,3)

по одному из каждой страны, в том числе из России. В первый день запланировано 20 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что выступление представителя России состоится в третий
день соревнований. (Ответ: 0,3)
17.В кармане у Нади лежит 5 леденцов и 6 ирисок. Каждую минуту Надя наудачу вынимает сласти из кармана по одной и отправляет их в рот. Найдите вероятность того, что через четыре минуты у Нади в кармане окажется 5 леденцов и 2 ириски. Результат округлите до тысячных. (Ответ: 0,045)
18.На чемпионате по прыжкам в воду выступают 30 спортсменов, среди них 6 прыгунов из Великобритании и 10 прыгунов из Мексики. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что девятнадцатым будет выступать прыгун из Великобритании. (Ответ: 0,2)

М.В., Федорова Н.Е., Элементы статистики и вероятность.
Учебное пособие для 7 – 9 классов образовательных учреждений,
М., Просвещение, 2004.

3. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А., Высоцкий И.Р., Ященко И.В.,
Теория вероятностей и статистика, М, МЦНМО, 2004.

4. Эфендиев Э.И. и др. Элементы теории вероятностей и математической
статистики. – Махачкала, 1997.

Литература