Презентация, доклад на тему Теорема косинусов. Учебная презентация.

Ольга
Руководитель: Драгунова С.Н.

во II книге «Начал» Евклида ( IV век до н.э.), где излагается геометрическая алгебра, с помощью геометрических чертежей даются решения задач, сводящихся к квадратным уравнениям. Алгебраической символики тогда не существовало. Доказал теорему косинусов Евклид в 325 году до н.э.

без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

× cosA
Доказательство:
Рассмотрим векторное равенство.
Т.к.
то
Возведём обе части в квадрат (скалярно), тогда получим:

Т.к. =│ a│ ×│ b│ × cos (a ; b ), то ВС2 = АС2 + АВ2 – 2АС × АВ × cosA , что и требовалось доказать.

стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон ± удвоенное произведение одной из них на проекцию другой. Знак «+» ставится, когда противолежащий угол тупой, а знак «-» ставится, когда этот угол острый.

- прямоугольный, то:
b = c × cos α, следовательно, AD= AC × cos α, тогда ВС2 = АС2 + АВ2 – 2 АС × АВ

90).
Рассмотрим треугольник АDС – прямоугольный:

AD= AC × cos DAC = AC × cos(180 - α )= -AC × cos А или AC × cosА = -AD
Т.е. ВС2 = АС2 + АВ2 – 2 АС × АВ

Другие две стороны находятся аналогично и по соответствующим формулам:
По теореме:
а) АС2 = АВ2 + ВС2 – 2 АВ × ВС × cosВ
б) АВ2 = АС2 + ВС2 – 2 АС × ВС × cosС
в) если один из углов прямой, то имеем треугольник АВС – прямоугольный и стороны вычисляются по теореме Пифагора (a2 + b2 = c2)

– 2 АD × AС
а.2) АС2= АВ2 + ВС2 - 2 ВС × СD
б) По следствию тупого угла:
б.1) АВ2 = АС2 + ВС2 + 2 АD × ВС
б.2) АС2= АВ2 + ВС2 + 2 ВС × СD

опирается на метрические соотношения в четырехугольнике.
Так, в геодезии приходится иметь дело с выяснением взаимного расположения четырех пунктов, в технике – с расчетами четырёхзвёздных шарнирных механизмов и т.п.

рассматриваются лишь две теоремы, которые по аналогии с соответствующими теоремами для треугольника естественно называются теоремами для четырехугольника. Эти теоремы интересны сами по себе, богаты вытекающими из них следствиями, и могут с успехом применяться при решении различных метрических задач.

без удвоенных произведений пар этих сторон и косинусов углов между ними.

– 2ab × cosβ – 2bc × cos γ – 2ac × cos μ
Доказательство.
Построим ABCE – параллелограмм
Имеем: ECD =AMD =μ
Пусть CE=a, AE=b, ED=y, AD=x
ABC=β, BCD=γ, AED=φ

–2ac × cos μ
Рассмотрим треугольник AED:
x2 = b2 + y2 – 2by × cos φ
Составим систему:
y2 = a2 + c2 –2ac × cos μ
x2 = b2 + y2 – 2by × cos φ
0= a2 + c2 - y2 –2ac × cos μ
x2 = b2 + y2 – 2by × cos φ
x2 = a2 + b2 + c2 –2ac × cos μ – 2by × cos φ
Т.е. из двух равенств получим одно:
x2 = a2 + b2 + c2 –2ac × cos μ – 2by × cos φ

– φ)= EE1=E1C + CD1 = a × cosBCE + c × cos (180 – γ)=> y× cos φ= a × cos β + c× cos γ
Подставим найденное значение y × cos φ в выражение для x2, получим окончательно:
x2 = a2 + b2 + c2 – 2ab × cosβ – 2bc × cos γ – 2ac × cos μ
Теорема доказана.

другие выпуклые четырехугольники и убедиться в том, что эта теорема во всех случаях сохраняет свою силу, независимо от расположения точек E1 и D1 на стороне ВС.
Приведем второе доказательство, которое не нуждается в рассмотрении различных случаев расположения элементов четырехугольника.

cosβ + b2 + c2– 2bc×cos γ– b2– 2ac×cosμ
x2= a2 + b2 + c2 – 2ab× cosβ– 2bc × cos γ– 2ac × cosμ
Теорема доказана.

Последнее доказательство указывает на то, что теорема косинусов может быть распространена также на вогнутые четырехугольники и треугольники с самопересечением сторон. Для определения углов в формуле 1 требуются стороны четырехугольника ориентировать по обходу его контура

редко встречается в русской и иностранной учебной литературе по элементарной геометрии. Целесообразность знакомства с ней, этой забытой теоремой, вы уясните из ее содержания.

противоположных сторон без удвоенного произведения всех четырех сторон четырехугольника и косинуса суммы двух его противоположных углов.
Эта теорема названа теоремой косинусов для четырехугольника потому, что она аналогична теореме косинусов для треугольника, стороны которого пропорциональны произведениям ef, aс, bd, где a, b, c, d – последовательные стороны данного четырехугольника, e и f – его диагонали. Существование такого треугольника легко может быть установлено.

– четырехугольник (рис. 3.4)
a, b, c, d – стороны, e и f –диагонали
Доказать, что e2f2=a2c2 +b2d2 – 2abcd× cos φ

следствия.
Рассмотрим некоторые из них:

Если сумма какой-либо пары противоположных углов четырехугольника равна 90,

то квадрат произведения диагоналей равен сумме квадратов произведений квадратов сторон четырехугольника. Если А+ С = 90 (или же 270), то (ef)2=(ac)2+(bd)2 Это соотношение представляет собой аналог теоремы Пифагора и в известном смысле может быть названо теоремой Пифагора для четырехугольников

сумме четвертых степеней неравных сторон. Это следствие вытекает из предыдущего при a=c и b=d

произведений противоположных сторон
Во вписанном четырехугольнике в окружность, сумма углов А и С равна 180 (A+С= 180), значит, (ef)2=(ac)2+(bd)2 + 2abcd или (ef)2=(ac+bd)2 , т.е. ef=ac+bd

четыре точки лежат на одной окружности или же на одной прямой.

Задачник 9-11», Москва, 1996
М.И. Сканави и др. «Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во ВТУЗы» Москва, 1978
А.В. Погорелов. «Геометрия 7-11» Москва, 1996
«Энциклопедический словарь юного математика» Москва, 1989