Презентация, доклад на тему Старая японская теорема. НПК учеников

из какой-нибудь одной его вершины все диагонали. Впишем в каждый из получившихся треугольников окружность. Сумма радиусов всех этих окружностей- величина постоянная, не зависящая от выбора вершины многоугольника

данного многоугольника на треугольники

треугольника, равна сумме радиусов описанной и вписанной в него окружностей,
т. е. OO1+OO2+ ОО3 = R + r,
где R — радиус описанной,
а r — радиус вписанной в треугольник окружности.

треугольник с номером i, а ОО1i , ОО2i , ОО3i — расстояние от центра О большой окружности до сторон i - гo треугольника.
Тогда по теореме Карно
R + ri = ОО1i + ОО2i + ОО3i.

Поэтому интересующую нас сумму радиусов ri можно записать так:
∑ = ( OO1 ( 1 )+OO2( 1 )+
+ ОО3 ( 1 )) + ( OO1 ( 2 )+OO2( 2 )+ + ОО3 ( 2 )) + ...

•

О

•

О1

О2

О3

противоположных сторон этого четырехугольника
AC·BD=AB·CD+AD·BC

С

D

A

B

C

D

A

1

2

1. Треугольники ABE и DBC подобны

а

d

e

f

c

b

x

E

2. Обозначим длины сторон через a,b,c,d, длины диагоналей через e и f.
а длину отрезка АЕ через х

3. ас=ех

4. Аналогично треугольники ABD и EBC подобны и

5. Следовательно
ef=ac+db

Птолемея:
АО · КМ = АК · ОМ + АМ · КО.

Но AO = R, КМ =

АК =


АМ =

Поэтому это равенство можно переписать так: