Презентация, доклад на тему Способы решения квадратных уравнений

уравнений.

a + bx + c = 0,
где х- переменная, а,b и с-некоторые числа, причем, а ≠ 0.

решать около 2000 лет до нашей эры вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их  клинописных текстах  встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:
 

астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта(VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:
ах2+вх=с, а0.
В этом уравнении коэффициенты, кроме а,могут быть и отрицатель-ными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

образцу ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи.Книга способствовала распространению алгебраических знаний в Италии, в Германии, Франции и др. странах Европы.

формула для решения квадратного уравнения с помощью радикалов (корней). Вывод формулы имеется у Виета,но он признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кордано, Бомбелли в XVI в.учитывают и отрицательные корни. В XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

множители
Решим уравнение х2 + 10х – 24 = 0.
Разложим левую часть уравнения на множители:
х2 + 10х – 24 = х2 + 12х – 2х – 24 = х (х + 12) – 2 (х +12) = (х + 12)(х – 2).
Следовательно, уравнение можно переписать так:
(х + 12)(х – 2) = 0.

то по крайне мере один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается в нуль при х = 2, а также при х = - 12. это означает, что числа 2 и – 12 являются корнями уравнения х2 + 10х – 24 = 0.

= 0
Выделим в левой части полный квадрат.

а = 4, b = 7, с = 3, D = b – 4ас = 72 – 4· 4 ·3 = 49 – 48 = 1
Х=

Х=

, х2 = –1

х1 =

4, с = 1.
D = b – 4ас= 16 – 4∙4∙1 = 0,
D = 0, один корень;

Х=

с = 4
D = b – 4ас=9 – 4∙2∙4 =9 – 32 =
- 13
D < 0. Уравнение не имеет корней.

квадратное уравнение имеет вид
+ px + q = 0.
Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а = 1 имеет вид



Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней).

вид

числа х и х ,
такие, что х +х = 9 ,х х = 14
Такими числами являются 2 и 7. По теореме, обратной теореме Виета, они и служат корнями заданного квадратного уравнения.

2 к свободному члену, в результате получим уравнение у – 11y +30 = 0.
Согласно теореме Виета

0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю),

то х1 = 1, х2 = .
Если а - b + с = 0, или b = а + с, то

х1 = – 1, х2 = –

+ b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0)
, то х1 = 1, х2 = .
Решим уравнение
132х + 247х + 115 = 0
Т. к. а-b+с = 0 (132 – 247 +115=0), то

х1= - 1, х2= -

корней можно записать в виде

Х =

– 4 = 0.
Решение. Запишем уравнение в виде
х = 3х + 4 . Построим параболу у = х и прямую у = 3х + 4.
Прямую у = 3х + 4 можно построить по двум точкам М (0;4) и N (3;13).
Прямая и парабола пересекаются в двух точках А и B с абсциссами х1 = – 1 и
х2 = 4.

решать квадратные уравнения со школьной скамьи (8 класс), до окончания вуза. Эти знания могут пригодиться нам на протяжении всей жизни. Так как эти методы решения квадратных уравнений просты в применении, то они, безусловно, должно заинтересовать увлекающихся математикой учеников.