Презентация, доклад на тему Решение экономических задач

««Решение задач с экономическим содержанием»»





Выполнил: Шахметов Игорь
ученик 10 класса Белоозерской СОШ
Руководитель: Ишеева Д-Х. Г
учитель математики


2017г

и апробация методов решения «экономических» задач
Задачи:
Изучить теоретические аспекты решения «экономических» задач;
Познакомиться с видами «экономических" задач из сборников для подготовки к ЕГЭ 2017 г. и открытого банка задач по математике;
Рассмотреть разные типы заданий ЕГЭ под №17 и их способы решения.

в малом объеме, и с другой стороны - было желание разобраться в их решении на собственном опыте.

Объект:
«Экономические» задачи на проценты повышенного уровня сложности


Методы исследования:
поисковый метод с использованием научной и учебной литературы, интернета;
исследовательский метод при определении видов задач, их решения различными способами;
анализ полученных в ходе исследования данных.

Пусть размер кредита равен S
процент банка p,
ежегодная выплата по кредиту K
Формулы для подсчета процентов:
а) если величину S увеличить на p% получится S∙(1+p/100);
б) если величину S уменьшить на p% получим S∙(1-p/100);
в) если величину S дважды увеличить на p% получим S∙(1+p/100)²;
г) если величину S увеличивать на p% не два раза, а три раза, получится S∙(1+p/100)³;
д) если величину Х увеличивать на p% п раз, то степень пS∙(1+p/100)n.

сумму K по кредиту

Через год после начисления процентов и выплаты суммы K,
размер долга равен S∙(1+p/100)-K.

Каждый год сумма будет умножаться на выражение в
скобках, введем замену переменных
Обозначим: Р=1+p/100, тогда S∙Р-K.

Через два года размер долга будет выглядеть следующим образом:
(SР-K)∙Р-K;
Через три года: ((SР-K)∙Р-K)∙Р-K;
Через четыре года: (((SР-K)∙Р-K)∙Р-K) Р-K;
Через n лет: SРⁿ-K(Рⁿ+ Рn-1+Рn-2+Р³+Р²+Р+1).

Р членов геометрической прогрессии, где
в В1 равен 1,
q равен Р
Формула для суммы п членов геометрической прогрессии:
Kn=
В нашем случае размер долга через n лет равен:
SРⁿ - K
Итак, мы видим в нашей формуле следующие четыре переменные:
размер денежной суммы - S
процент банка - p,
периодическая выплата банку (транш) – K
временной период происходящих действий (года, месяцы) – n

- неизвестно n. Так как остальные величины известны, то необходимо вычислять остаток суммы по кредиту до тех пор, пока он не станет меньше, чем периодическая выплата банку– K. Задача 1. Максим хочет взять кредит 1,5 млн. руб. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое минимальное количество лет может взять Максим кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 350 т.р.?

1 способ Решение:

2 способ
1)В конце первого года долг составит:
1500000 ∙ 1,1 – 350000 =1300000 руб )

2) В конце второго года долг составит:
1300000 ∙ 1,1 – 350000 = 1080000 (руб)

3)В конце третьего года долг составит:
1080000 ∙ 1,1 – 350000 = 838000 (руб)

4)В конце четвертого года долг составит: 838000 ∙ 1,1 – 350000 = 571800 (руб)

5)В конце пятого года долг составит:
571800 ∙ 1,1 – 350000 = 278980 (руб)

6. В конце шестого года долг составит:
278900 ∙ 1,1 =306878 (руб)
Эта сумма более 350000 руб. .
Значит, кредит будет погашен за 6 лет

Ответ: за 6 лет

необходимо начислить на сумму S проценты n раз и составить уравнение, относительно p. Задача 3. 31декабря 2014 года Пётр взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на a%), затем Пётр переводит очередной транш. Если он будет платить каждый год по 2 592 000 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 4 392 000 рублей, то за 2 года. Под какой процент Пётр взял деньги в банке?

Решение:
х- сумма кредита. t1 = 2592000 руб. и t2 = 4392000 - ежегодные платежи.

Каждый год – увеличение долга на а%, т.е. умножаем долг на 1+

= b

xb4 - t1b3-t1b2-t1b-t1=0 xb2-t2b-t2=0
xb4=t1(b3+b2+b+1) xb2=t2(b+1)
xb4=t1(b2(b+1)+(b+1))

xb4=t1(b2+1)(b+1)

xb4=t1(b2+1)(b+1) (1) первое уравнение делим на второе
xb2=t2(b+1) (2)

b2=

(b2+1)

b2t2=t1b2+ t1

b2t2 - t1b2= t1
b2=

b2=

=1,44

b=1,2

1+

=1,2

а=0,2*100=20%

Ответ:20%

уравнение и решить относительно К. Задача 4. 31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9930000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определенную сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг 3 равными ежегодными платежами?

Решение:
Сергей взял в банке -х руб. (х=9930000 руб.)
Ежегодный платеж Сергея – а 1+

Ежегодное увеличение долга=10%, т. е. увеличивается в 1,1 раза (1+

=1,1),
Сергей уменьшает долг на а рублей.

Через 3 года полное погашение кредита: 1,331х-3,31а=0 (х=9930000 руб.)


а =

=3993000 рублей
Ответ: 3993000 рублей

Так как известно n, то необходимо начислить на сумму неизвестного S проценты n раз и решить уравнение, относительно S.

Задача 5.
31 декабря 2014 года Максим взял в банке некоторую сумму денег в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, затем Михаил переводит в банк 2928200 рублей. Какую сумму взял Михаил в банке, если он выплатил долг четырьмя равными платежами, то есть за 4 года?

Решение:
Пусть S – сумма кредита.
1)В конце первого года долг составит: (1,1х – 2928200) рублей

2) В конце второго года долг (в рублях) составит: (1,1х – 2928200)∙1,1 – 2928200 = 1,21х – 3221020 – 2928200 = 1,21х – 6149220

3) В конце третьего года долг (в рублях) составит: (1,21х – 6149220)∙1,1 – 2928200 = 1,331х – 6764142 – 2928200 = =1,331х – 9692342

4) В конце четвертого года долг (в рублях) составит 2928200 рублей: (1,331х – 9692342)∙1,1 = 2928200; 1,4641х – 10661576 = 2928200; 1,4641х = 13589776; х = 9281999,8

Значит, сумма кредита равна 9282000 рублей.
Ответ: 9282000 рублей.

нем отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 21 квадратный метр и номера «люкс» площадью 49 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 1099 квадратных метров. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2000 рублей в сутки, а номер «люкс» 4500 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своем отеле предприниматель?
Решение:
Пусть стандартных номеров –х, а номеров «люкс» -у.
Тогда общая площадь будет: 21х+49у=1099 кв. метров.
В сутки можно заработать: 2000х+4500у рублей и эта сумма должна быть наибольшей.
Из первого уравнения выразим у и подставим в выражение 2000х+4500у.

получим функцию заработанных в сутки денег: f(x)=2000х+4500∙

.
После преобразований получим: f(x)=

Она должна принимать наибольшее значение.
Так как х и у –натуральные числа, и функция f(x)- возрастающая, то она принимает наибольшее значение при наибольшем значении х.

будет целым, если х=50,
тогда f(x) =

= 104500 (рублей).

Легко заметить, что выражение

тогда f(x) =

Ответ: 104 500 рублей в сутки сможет заработать предприниматель на своем отеле

как, работая над экономическими моделями, сформулированными в условиях, они заставляют задумываться о реальной жизни. О том, что кредиты, отношения с банками, игра на бирже, колебания курсов ценных бумаг, начисление процентов дело сложное и требует больших знаний. Задачи с экономическим содержанием являются практическими задачами. Решая задачи указанного типа, наблюдаем, с одной стороны, абстрактный характер математических понятий, а с другой – большую эффективную их применимость к решению жизненных практических задач. Решение задач с экономическим содержанием способствует приобретению экономических знаний. Экономическая подготовка - важный фактор повышения жизнеспособности, жизнестойкости в современном социуме. А их решение, бесспорно, способствует более качественному усвоению математики средней школы, позволяет осуществлять перенос полученных знаний и умений в экономику. С чего начинать решать экономические задачи – очень внимательно читать условия задачи и по шагам распределить действия, затем постараться математически выразить их и постараться прийти к ответу. Моя цель исследования разработать алгоритм решения и апробация методов решения «экономических» задач выполнена.