Презентация, доклад на тему Прогрессии в окружающей нас жизни

прогрессии: дали определение, научились находить по формулам любой член прогрессии, сумму первых членов прогрессии. Найдя ответы на вопросы: имеет ли это какое - либо практическое значение и как давно люди знают последовательности, как возникло это понятие, мы подтвердим или опровергнем утверждение о том, что математика – наука очень древняя и возникла она из практических нужд человека, что алгебра является частью общечеловеческой культуры.

использование теоретического материала для решения задач о прогрессиях; интересные жизненные примеры и практическое применение этих прогрессий
Гипотеза исследования: прогрессии имеют определенное практическое значение: сфер жизни человека, где встречаются прогрессии бесчисленное множество

в жизненных ситуациях
Методы исследования:
Поиск и анализ различных источников информации.
Систематизация и обобщение материалов исследования.

дошли до нас в документах Древней Греции.
Пифагор (IV в. до н. э.) и его ученики рассматривали последовательности, связанные с геометрическими фигурами. Подсчитывая число кружков в треугольниках, квадратах, пятиугольниках, они получали:
- последовательность (аn) треугольных чисел 1; 3; 6; 10; 15; ... ;
- последовательность (bn) квадратных чисел 1; 4; 9; 16; 25; ... ;
- последовательность (cn) пятиугольных чисел 1; 5; 12; 22; 35; ... ;

встречается впервые в сочинении Леонардо Пизанского (Фибоначчи)
«Книга об абаке» (1202 г.)

природа которых такова, что любая пара кроликов производит на свет другую пару каждый месяц, начиная со второго месяца своего существования. Сколько пар кроликов будет через год?

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т.д.,

нельзя говорить о том, кто их открыл. Ведь уже натуральный ряд есть арифметическая прогрессия с первым членом и разностью, равными 1.

О том, как давно была известна геометрическая прогрессия, свидетельствует знаменитое предание о создании шахмат.

Индийский принц решил наградить изобретателя шахмат и предложил ему самому выбрать себе награду.
Изобретатель попросил в награду за первую клетку шахматной доски 1 зерно, за вторую — 2 зерна, за третью — 4 зерна и т. д. Каково же было удивление принца, когда он узнал, что такую, казалось бы, скромную просьбу невозможно выполнить.

всех клеточках доски.

?

S64 = 264 - 1

Сумма равна: 18 446 744 073 709 551 615 - восемнадцать квинтильонов четыреста сорок шесть квадрильонов семьсот сорок четыре триллиона семьдесят три биллиона семьсот девять миллионов пятьсот пятьдесят одна тысяча шестьсот пятнадцать

Это заведомо превосходит количество пшеницы, собранной человечеством до настоящего времени. Такое количество пшеницы можно собрать лишь с площади в 2000 раз большей поверхности Земли.

предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же не равное нулю число.

покупатель, обретя лошадь, раздумал и возвратил продавцу, говоря: «Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит». Тогда продавец предложил другие условия:
«Если по-твоему цена  лошади высока, то купи ее подковные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай мне 1/4 коп., за второй - 1/2коп., за третий - 1коп., и т.д.»
Покупатель, соблазненный низкой ценой, и желая даром получить  лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей.

000 руб., а ты мне взамен в первый
день отдашь 1 коп., а в каждый последующий в 2 раза больше. Во второй день - 2 коп.,
в третий - 4 коп. и т.д.»
Подумал купец и подписал договор.

Кому выгодна сделка?

Приходит как-то раз к одному богатому
купцу мужик и предлагает сделку.

= 10 737 418 руб. 23 коп.

418 р. 23 к.

Разница составляет – 7 737 418 руб. 23 коп.

Миндюк Н.Г., Суворова С.Б. . - М.: Просвещение, 2009, -271с. (с.152)

При свободном падении тело прошло в первую секунду 5м, а в каждую следующую на 10м больше. Найдите глубину шахты, если свободно падающее тело достигло его дна через 5с после начала падения.

Решение: Составим математическую модель задачи:
в первую секунду - 5м,
во вторую секунду - 15м,
в третью секунду - 25м,
в четвертую секунду - 35м,
в пятую секунду - 45м.
Всего за пять секунд - 5+15+25+35+45=125(м).
Ответ: глубина шахты 125м.

общеобразовательных учреждений/ Мордкович А.Г., Семенов П.В., - М.: Мнемозина, 2010, -224с. (с.100)

Альпинисты в первый день восхождения поднялись на высоту 1400м, а затем каждый следующий день они проходи ли на 100м меньше, чем в предыдущий. За сколько дней они покорили высоту в 5000м?
Дано: 1400; 1300; …; a1=1400; d=-100; Sn=5000
Найти: n
Решение
Sn= (2a1+ d (n-1))n/2;
5000= (2·1400-100 · (n-1)) n/2;
10000= (2800-100 n+100) n;
10000= (2900-100 n) n;
100 n2-2900 n+10000=0;
n2-29 n+100=0;
n=25, n=4 – условию задачи удовлетворяет n=4 ( при n=25, аn=-1000, но аn>0)
Ответ: Значит, альпинисты покорили высоту за 4 дня.

он принимает 5 капель, а в каждый следующий день — на 5 капель больше, чем в предыдущий. Приняв 40 капель, он 3 дня пьет по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до 5 капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)?
Дано: 5; 10; 15; …; 40; 40; 40; 35; 30; …; 5
а1=5; d=5(возрастающая ар. пр.); а1=5; d=-5(убывающая ар. пр.)
Решение
а1 = а1+d(n-1)
40=5+5(n-1)
n = 8

Ответ: 2 пузырька лекарства

большое количество бревен строевого леса. Нужно быстро определить, сколько бревен привезли, чтобы закрыть наряд шоферу.

В данном случае, чтобы подсчет бревен осуществлялся по простым формулам, один из способов – использовать естественное расположение бревен так, чтобы в каждом верхнем ряду их оказалось на единицу меньше, чем в нижнем. Тогда число бревен ряда образует арифметическую прогрессию и общее количество легко подчитывается по формуле суммы арифметической прогрессии с разностью, равной единице.

рисунке. Сколько брёвен находится в одной кладке, если в ее основании положено 12 бревен?
Решение. Составим математическую модель задачи: 1, 2, 3, 4,…,12. Это арифметическая прогрессия, а1=1, d=1,аn=12. Надо найти n.
аn=a1+d(n-1); 12=1+1(n-1); n=12.
Sn=(a1+an)∙n:2; Sn=(1+12)·12:2; Sn=78.
В одной кладке находится 78 бревен.
Ответ: 78 бревен.

растет по геометрической прогрессии.
Геометрия. Вписанные друг в друга правильные треугольники образуют геометрическую прогрессию.
Физика. И в физических процессах встречается эта закономерность. Нейтрон, ударяя по ядру урана, раскалывает его на две части. Получаются два нейтрона. Затем два нейтрона, ударяя по двум ядрам, раскалывает их еще на 4 части и т.д. – это геометрическая прогрессия.
Биология. Микроорганизмы размножаются делением пополам, поэтому при благоприятных условиях, через одинаковый промежуток времени их число удваивается.
Экономика. Вклады в банках увеличиваются по схемам сложных и простых процентов. Простые проценты – увеличение первоначального вклада в арифметической прогрессии, сложные проценты – увеличение в геометрической прогрессии.

простых процентов;
- схема сложных процентов.
Опустим все экономические сложности и покажем, в чём отличие между простыми и сложными процентами. Если проценты простые, то это значит, что деньги за определённый период времени будут начисляться на изначальную сумму вклада. Вклад со сложным процентом отличается от предыдущего тем, что проценты приписываются к первоначальному вкладу (капитализируются) через определенный период и затем, через следующий период, проценты уже начисляются на всю сумму.
В схемах простых и сложных процентов несложно заметить закономерности. Цепочка чисел, образующаяся при начислении простых процентов, составляет арифметическую прогрессию. Действительно, каждая сумма, начиная со второй, больше предыдущей на одно и то же количество денег. А при начислении сложных процентов сумма возрастает в геометрической прогрессии, так как каждая, начиная со второй, больше предыдущей в одно и то же число.
Это наглядный пример того, что знание арифметической и геометрической прогрессий помогает человеку, облегчает ему жизнь.

составляв 10 000 р., банк дает 10% годовых, срок
хранения вклада - 5 лет. Если вы выбрали стратегию простых
процентов, то к концу срока хранения вы получите в итоге сумму,
равную10 000 • (1 + ) , т. е. 15 000 р. Если же вы выбрали стратегию
сложных процентов, то к концу срока хранения вы получите
в итоге сумму, равную 10 000 • ( 1 + )5, т. е. 16 105,1 р.
Как говорится в одном рекламном слогане, почувствуйте разницу.

Алгебра. 9 класс, в 2ч. Ч.1. Учебник для
общеобразовательных учреждений/ Мордкович А.Г.,
П.В. Семенов ,-М.:Мнемозина,2010,-224с.(с.169-171)

увеличивается на 3 метра.
Равноускоренное движение — арифметическая прогрессия, т.к. за каждые промежутки времени тело увеличивает скорость в одинаковое число раз.
Технические задачи: После каждого движения поршня разрежающего насоса из сосуда удаляется 20% находящегося в нём воздуха. Определите давление воздуха внутри сосуда, после 6 движений поршня, если первоначально давление было 760 мм. рт. ст.

В каких процессах ещё встречаются такие закономерности?

свою организацию и говорит, что, если внести указанную плату по указанным адресам по 1 рублю, а затем заплатить ещё по 5 таким же адресам, вычеркнув первый адрес и дописав свой последним, то через некоторое время вы получите уйму денег. Хотя желающих разбогатеть по щучьему веленью немало, но в выигрыше оказываются только учредители такой игры.
Решение. Дело в том, что число участников увеличивается в 5 раз с каждым кругом. Если пятёрка устроителей подпишет, допустим, 120 человек со своими адресами, то в первом круге участвуют 120 человек, во втором – 600, в третьем – 3 000, …, в десятом – 234  375  000 человек; это намного больше населения страны. Так что участник, включившийся в восьмом или девятом круге, уже ничего не получит.

две; каждая из этих двух в свою очередь тоже делится на две, и получаются четыре бактерии; из этих четырех в результате деления получаются восемь бактерий и т. д. Результат каждого удвоения будем называть поколением.

А.Г., Семенов П.В., -М.: Мнемозина, 2010

Бактерия, попав в живой организм, к концу 20-й минуты делится на две бактерии, каждая из них к концу следующих 20 минут делится опять на две и т.д. Найдите число бактерий, образующихся из одной бактерии к концу суток.
Решение:
В сутках 1 440 минут, каждые двадцать минут появляется новое поколение - за сутки 72 поколения. По формуле суммы n первых членов геометрической прогрессии, у которой b1=1, q=2, n=72, находим, что S72=272-1= 4 722 366 482 869 645 213 696 - 1=
= 4 722 366 482 869 645 213 695.

себе прогрессии известны так давно, что нельзя говорить о том, кто их открыл;
убедилась в том, что задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, также как и многие другие знания по математике, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и др.;
выяснила, что в развитие теории о прогрессиях внесли ученые Архимед, Пифагор и его ученики, французский математик Леонард Фибоначчи;
нашла много задач на арифметическую и геометрическую прогрессию в старых и в современных учебниках по математике. Заметили, что арифметическая прогрессия в практических задачах встречается чаще геометрической;
сделав анализ задач на прогрессии с практическим содержанием я увидела, что прогрессии встречаются при решении задач в медицине, в строительстве, в банковских расчетах, в живой природе, в спортивных соревнованиях и в других жизненных ситуациях;
следовательно, нам необходим навык применения знаний, связанных с прогрессиями.

интересных фактов о прогрессиях; применение прогрессий в жизненных ситуациях достигнута, проблема решена.

общеобразовательных учреждений/ А.Г.Мордкович. – 9-е изд., стер. – М.:Мнемозина, 2007. – 231 с.;
Алгебра. 9 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений/ Ю.Н. Макарычев и др. под ред. С.А. Теляковского –М.: Просвещение, 2009 – 271 с.;
Алгебра. 9 класс, : Учебник для общеобразовательных учреждений / Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Феактистов И.Е. . -М.: Мнеозина, 2008, -447с. № 698, 699,702,725,734, 788, 789 (7 задач)
Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных.9 кл.: Учебник для общеобразовательных учебных заведений/ Г.В. Дорофеев , С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева; под ред. Г.В. Дорофеева. -М. :Дрофа, 2000,-352с.;
Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Книга для учащихся 7-9 классов средней школы -М.: Просвещение, 1990.-224сю;
Энциклопедический словарь юного математика /Сост. А.П.Савин.- М.: Педагогика, 1989.-352с..
http://n-t.ru/tp/iz/zs.htm
http://students.tspu.ru/students/legostaeva/index.php?page=op
http://festival.1september.ru/articles/568100/