Презентация, доклад на тему Проектная работа Изгибаемые многогранники

Посольстве РФ в Дании

Номинация: «Хочу все знать»
Руководитель проекта: Аверина Л.В., учитель математики.
Автор проекта - Аверина Маргарита, ученица 8 класса.

и их свойствами
_______________________________________

Задачи:

-развивать пространственное мышление;
-учиться работать с научным текстом;
-учиться работать с графической информацией различного типа, создавать анимированные изображения.
_______________________________________

кузнечных мехов
5. Применение теории изгибаемых многогранников
6. Вывод
_________________________________

уже известными знаниями, точки вне сферы – те знания о которых у нас нет информации и, следовательно, не может возникнуть и вопросов, а вопросы можно задавать лишь в точках сферы, на границе знания и незнания…

__________________________________
Вопрос об изгибаемых многогранниках – яркий тому пример

и узнали, что они могут быть выпуклыми и невыпуклыми, и все они, кроме треугольника, нежесткие.

А можно ли деформировать, изогнуть многогранник?

если деформация осуществляется только за счёт непрерывного изменения углов между гранями

в которой доказал, что никакой выпуклый  многогранник не может быть изгибаемым.

После знакомства с этой работой немецкий математик Феликс Клейн сказал: «По блестящим достижениям во всех областях математики Коши можно поставить почти рядом с Гауссом»
Эта оценка очень весома, особенно если учесть, что взаимоотношения между французскими и немецкими математиками развивались в атмосфере острой конкуренции, и признание заслуг соперников никогда не отличалось щедростью. 

_______________________

1897 году. Эти модели имеют самопересечения, поэтому невозможно склеить их из бумаги.

изгибаемый многогранник без самопересечений.

трудные проблемы об оптимальной упаковке кругов и о распрямлении ломаной линии.

Открытию изгибаемого многогранника без самопересечений был посвящён доклад на Международном математическом конгрессе, который Коннелли сделал в Хельсинки в 1978 году. Одна из моделей изгибаемого многогранника находится в Национальном музее американской истории

Утверждение, что 9 – минимальное количество вершин до сегодняшнего дня никто не сумел ни доказать, ни опровергнуть.

выбрать максимально плотный картон

изгибаемых конечных многогранников с 2n вершинами, 6n ребрами (из которых 2n сдвоенных) и 4n треугольными гранями

Гранями служат грани n тетраэдров, соединенных между собой в циклическом порядке по определенным парам противоположных ребер каждого, так что получается фигура наподобие кольца.

чертеже, то четыре грани каждого тетраэдра дают в сумме 66; соответствующие грани, взятые по одной из каждого тетраэдра дают в сумме 132 (например, 9+7+17+31+10+8+18+32 = 132) – то же самое получается для восьми наборов из восьми граней, которые спирально обвиваются вокруг кольца (например, 1+12+31+21+2+11+32+22 = 132).

Развертка для флексора при n=10

взгляд, это особенно красивый многогранник

n=12
«Раскрыть» фигуру полностью не удается, при n>22 она заузливается

ли объем при деформации многогранника Штеффена?

Роберт Коннелли назвал предположение о постоянстве объёма изгибаемого многогранника в ходе его изгибания «гипотезой кузнечных мехов». 

Штеффена мелкой солью. (Вторую модель предварительно изогнуть!)

>

<

=

Объемы оказались равными!

МГУ им. М.В. Ломоносова, обобщил формулу Герона и формулу Тартальи для объема тетраэдра и доказал неизменность объема изгибаемых многогранников

Герон Александрийский

Тарталья (Niccolò Fontana Tartaglia)

Сабитов И.Х.

известной формуле Герона S∆ можно выразить через длины его сторон следующим образом: S∆2=1/16(2a2b2+2a2c2+2b2c2-a4-b4-c4)

a

b

c

l1

l2

l3

l4

l5

l6

выпуклого многогранника с треугольными гранями и его объёмом. Если у многогранника имеются многоугольные грани с числом сторон, превосходящим три, то их можно разбить диагоналями на треугольники.

Существует такой многочлен одной переменной, что его коэффициенты зависят только от длин рёбер многогранника, а объём есть корень этого многочлена. Так как рёбра у изгибаемых многогранников не меняются, то и сам этот многочлен, а значит, и его корни не меняются при изгибании самого многогранника. При малых деформациях многогранника объём может меняться мало, поэтому не может резко перепрыгнуть из одного корня многочлена в другой. Значит, объём изгибаемых многогранников не меняется при их изгибаниях!

 
______________________________________

"изгибаемого" многогранника, из которой при ее деформации со свистом выходил воздух так, что на ней можно было играть, как на гармони.

Но позже выяснилось, что в математическом смысле модель неизгибаема, а ее "изгибания" - следствие растяжения материала.

 Были предприняты попытки опровержения теории о постоянстве объемов путём построения контрпримеров.

узнала: некоторые выпуклые многогранники можно изогнуть по дополнительным ребрам (смять) так, что объем их при этом увеличится! _____________________________________________

Для примера возьмем пакет молока, имеющий изначально форму правильного тетраэдра (в 70-е годы именно такие пакеты были распространены в нашей стране повсеместно).

– наружу.
Аналогично поступлю с тремя остальными частями развертки тетраэдра.

M

N

P

MN=NP _____________

Из двух одинаковых разверток тетраэдра склею две модели: тетраэдр и многогранник.

циклическая молекула, состоящая из шести атомов, такая, что соответствующий ей октаэдр является изгибаемым )

Механика (шарнирные механизмы)

Архитектура

Металлоконструкции (увеличение жесткости)

математики. В последние 20 лет она привлекает внимание лучших геометров мира.

Эта тема интересна тем, что теорию можно поверить достаточно простыми практическими способами. Постановка задач понятна даже школьнику, но до сих пор некоторые проблемы не решены учеными. Например, вопрос об изменении или постоянстве объёма изгибаемых многогранников в пространствах размерности 4 до сих пор не решён и ждёт своего исследователя.

с англ. - М.: "Мир", 1986. - 474 с. с ил. стр. 168-169
-Н. П. Долбилин. Жемчужины теории многогранников. "Библиотека «Математическое просвещение»«, выпуск 5
-http://www.pereplet.ru/obrazovanie/stsoros/331.html

-Часть 1 // Квант. 2001. N 5. С. 7-12.
-Часть 2 // Квант. 2001. N 6. С. 3-10. 

-И.Х. Сабитов. Объёмы многогранников. — М.: МЦНМО, 2002
-Александров В.А. Изгибаемые многогранные поверхности // Соросовский Образовательный Журнал. 1997. № 5. С. 112-117