Презентация, доклад на тему Применение систем линейных уравнений для решения прикладных задач

задач.

Прелодаватель математики Низамова И . В.
Донецк 2018

и других наук.

и не содержит произведений переменных.
Система линейных уравнений с n переменными:

а bi (i=1,2,…,m) – свободными членами.

Решение системы уравнений — это последовательность чисел (k1, k2, ..., kn), которая является решением каждого уравнения системы, т.е. при подстановке
в это уравнение вместо переменных 
x1, x2,..., xn дает верное числовое равенство.
 

одного решения — несовместной.

Методы решения:
По формулам Крамера;
Исключение неизвестных
( метод Гаусса);
С помощью обратной матрицы.

имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера:


где –определитель, полученный из главного заменой i-того столбца столбцом свободных членов.

уравнений приводится к равносильной системе треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру), находятся все переменные системы.

Расширенная матрица содержит вместе с коэффициентами при неизвестных свободные члены системы уравнений.

= B, где
A - основная матрица системы;
B - столбец свободных членов;
X - столбцы решений системы;

Матричное уравнение умножают слева на A–1 (матрицу, обратную к матрице A). Так как
A− 1A = E, то X = A -1B.
Метод применим, если определитель системы не равен 0.

задач.

 
 





Цель занятия:

формировать умение составлять системы линейных уравнений по текстовому условию задачи;

закрепить применение методов Крамера и Гаусса решения систем линейных уравнений.

имеют
E1=11,5 B, r1=2,5 Oм,
E1=16,5 B, r1=6 Oм,
и нагрузочный резистор сопротивлением
Rн=30 Oм.
Определить значения и
направление токов через
источники и нагрузку.

Для контура, включающего в себя два источника
и имеем:
Для контура с источником и сопротивлением нагрузки при обходе по часовой стрелке имеем:
Подставив числовые данные, получим:

Получим:



второе уравнение умножим на (-6) и сложим с третьим. Получим:


Отсюда

I типа — 95 ед., II типа — 100 ед., III типа — 185 ед.
Для перевозки оборудования завод может заказать три вида транспорта. Количество оборудования каждого типа, вмещаемого на определенный вид транспорта, приведено в таблице.







Установить, сколько единиц транспорта каждого вида потребуется для перевозки этого оборудования.

единиц II-ого вида транспорта,
z ‒ количество единиц III-его вида транспорта. Тогда



Решим систему уравнений методом Крамера:

Δ = =12+12+20-3-30-32=-21 ;
 
Δх = =380+740+500-185-950-800=-315;

х = = 15;

=1200+570+740-300-1110-1520=-420;

у = = 20;

Δz = =555+600+1900-285-1500-1480=-210;

Z = = 10.

Ответ: Транспорта I-ого вида использовано 15 единиц, II-ого вида 20 единиц, а III-го вида 10 единиц.

А, 300 заготовок типа Б и 675 заготовок типа В. При этом можно применять три способа раскроя. Количество заготовок, получаемых из каждого листа при каждом способе раскроя, указано в таблице:





Найти количество листов материала, раскраиваемых соответственно первым,
вторым и третьим способами.

и третьим способами.
По условию задачи составим систему уравнений:

60.

ед., причем акции первой группы куплены по 5 ден. ед. за акцию, второй – по 20, третьей – по 13.
Через месяц стоимость акций первой, второй и третьей групп составила соответственно 6, 14 и 19 ден. ед., а стоимость всего пакета была 550 ден. ед.
Еще через месяц они стоили по 8, 22 и 20 ден. ед. соответственно, а весь пакет стоил 660 ден. ед. Cколько акций каждой группы было куплено?

штук,
акций III-ей группы z штук.
Согласно условию задачи имеем:
 
 

Решим систему уравнений методом Крамера:

Δ = =

= 1400+3040+1716-1456-2090-2400=210;

= 135800+250800+157300-120120-202730-220000=1050;


= = 55000+73720+51480-57200-62700-58200=2100;


= = 46200+88000+64020-54320-60500-79200=4200;
 
x = = 5;

y = = 10;

z = = 20;

Ответ: Акций I-й группы было куплено 5 штук, акций II-ой группы
было куплено 10 штук, акций III-ей группы было куплено 20 штук.

с детства проявлял все признаки гениальности. Главный труд всей своей жизни, «Арифметические исследования», юноша закончил ещё в 1798 г.
В 1799 г. Гаусс заочно защищает диссертацию.
Самым знаменитым трудом, проделанным Карлом Фридрихом Гауссом, была работа под названием «Теория движения небесных тел». Именно в ней ученый предложил теорию возмущения орбит.
Знаменитая теорема алгебры, термин  «гауссова кривизна», основы дифференциальной геометрии вошли в основу фундаментальных математических законов.

июля 1704 года в Женеве (Швейцария) в семье врача. Уже в детстве он опережал своих сверстников в интеллектуальном развитии и демонстрировал завидные способности в области математики.
В 18 лет он успешно защитил диссертацию.
Талантливый учёный написал множество статей на самые разные темы: геометрия, история, математика, философия. В 1730 году он опубликовал труд по небесной механике.
Крамер является одним из создателей линейной алгебры. В работе «Введение в анализ алгебраических кривых» Крамер строит систему линейных уравнений и решает её с помощью алгоритма, названного позже его именем – метод Крамера.

B, R1=0,3 Ом,
E2=230 B, R2=1 Ом,
R3=24 Ом, RВТ1= RВТ2=0.

4000 вентиляторов, 2000 миксеров и 6000 электрочайников на общую сумму 23 млн рублей.
Во 2 квартале выпущено 3000 вентиляторов, 1000 миксеров и 4000 электрочайников на общую сумму 15,6 млн рублей.
В 3 квартале выпущено 1000 вентиляторов, 3000 миксеров и 1000 электрочайников на общую сумму 7,8 млн рублей.
Найти стоимость одного вентилятора, одного миксера и одного электрочайника.

площадки увеличить на 4 м, а ее длину уменьшить на 2 м, то ее площадь увеличится на 32 ; если же ширину уменьшить на 3 м, а длину увеличить на 1 м, то ее площадь уменьшится на 39 . Найдите длину и ширину площадки.