Презентация, доклад на тему Презинтация по математику на тему Вычесление двойного и тройного интеграла (студентов ВУЗа)

С помощью таких тем все больше заинтересовать студентов к математике. Стараться связывать предмет математики с жизненными примерами, что вызывает большой интерес у студентов.
Студенты должны хорошо усвоить данный материал.

формулы Якобиан
Вопросы по пройденной теме
Примеры на самостоятельное решение
Список использованной литературы

интегральную сумму для функции f(x,y) в области D?

новым переменным по формулам

В функции на , иными словами имеются обратные функции

Если область в плоскости на криволинейные параллелограммы. Обозначим на плоскости бесконечно малый прямоугольник

этом случае, рассматривая третью координату эквивалентной , прибегнем к формуле, которая определяет площадь параллелограмма через модуль векторного произведения:
 

в соответствии с формулой

(*)

 Запишем формулу замены переменной в двойном интеграле

 

 
здесь используется в качестве образа в системе . Определитель именуют якобианом преобразования координат. При ненулевом якобиане, преобразование

имеет смысл или является невырожденным.
Следует отметить, что формула (*) может быть использована и в случае  - мерного пространства.

рассматриваемом примере следует начинать с построения области интегрирования, поскольку интегралы заданы с указанием порядка интегрирования и пределов по соответствующим переменным. Напомним, что переменные пределы интегрирования внутреннего интеграла являются границами изменения x при фиксированном y. Поэтому область интегрирования G1 для первого интеграла можно задать неравенствами

Где

и

Представляют собой дуги параболы

Лежащие выше оси Ox

Лежащие ниже оси Ox

Область интегрирования во втором интеграле имеет вид:

Где кривые

и

Представляют собой дуги параболы

И дугу окружности

по отрезку с концами

и

Следовательно, область G можно представить в виде

А значит

фиксированном значении y,

значение x меняется от 

до x=(2-y)e. Поэтому

Интегрируя теперь функцию

по y в пределах от y = 0 до y = 1, получим

При вычислении интеграла

используем форму интегрирования по частям. Имеем

координат Orφ (рис. a):  Оp  — полярная ось, которая совпадает с осью Ох;  φ    — полярный угол;  r     — полярный радиус точки М. 
Тогда, как известно: 

(2.12)

Рис. 2.9

лучами, выходящими из точки О под возрастающими углами φ к полярной оси (рис. 2.10).
 

Рис.2.10

Рис.2.11

разность площадей S1 и S2 полярных секторов радиусовr + Δr и r с раствором угла Δφ:












При Δr → 0, Δφ → 0 получаем ΔS ≈ r · Δr · Δφ.  Таким образом, при замене переменных по формуле (2.12) дифференциал площади в полярной системе координат преобразуется так:

2.13

В декартовой системе координат Оху прямоугольная сетка дает dS = dx · dy.

при переходе к другой системе координат. А именно

Что совпадает с (2.13)

интеграл в этих координатах вычисляется так:

координат . В двойном

интеграле перейдем к полярным координатам:

Полярный угол φ в области D изменяется от 0 до

а полярный радиус r – от 0 до R, следовательно:

двойном интеграле

Значения переменных φ и r заключены в пределах 0 ≤ φ ≤ π, 0 ≤ r ≤ 1, поэтому

Каждый из линейных интегралов в правой части равенства можно вычислить отдельно, так как пределы постоянны:
 

двойном интеграле.
Рассмотрели теоретические основы. Привели примеры на измерение порядка интегрирования в интеграле, а также вычисление и применение.
Вторая часть темы двойной интеграл в полярных координатах. Тут ознакомились формулой Якобиан, а так же были приведены примеры.

интеграл по области D, ограниченной заданными линиями. Сделать чертеж.

где область D, ограничена линиями

y = x .

 где область D, ограничена линиями y = x,

y = 2x, x = 2, x = 3.

а)

б)

Наука, 1999.
2. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. М.: Наука, 2000.
3. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Математический анализ. М.: Наука, 1999.
4. Смирнов В.И. Курс высшей математики.- Т.2. М.: Наука, 2005.