Презентация, доклад Задачи на делимость

отдельных предметов г.Тамбова Е.В.Кирина

– n
делится на 3.

Доказательство.
Имеем n3 – n=(n-1)n(n+1), а из трёх
последовательных чисел одно обязательно
делится на 3.

– n
делится на 5.
Доказательство.
Имеем n5 – n=n(n-1)(n+1)(n2 +1). Если целое
число оканчивается одной из цифр 0, 1, 4, 5,
6 или 9, то один из первых множителей на 5.
Если n оканчивается одной из цифр 2, 3, 7 или 8,
то n2 оканчивается на 4 или 9 и n2 +1 делится на 5.

3n3 + 4n делится
на 120.
Доказательство.
Имеем n5 - 3n3 + 4n = n(n2 - 1)(n2 - 4)=
= (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2).
Но из пяти последовательных целых чисел одно делится
на 5, по крайней мере одно делится на 3 и по крайней
мере два на 2, причём из этих двух последних чисел
одно делится на 4. Т.о., произведение пяти
последовательных целых чисел всегда делится на
5∙3∙2∙4=120

=(11-1)(119+118+117+116+115+114+113+112+11+1)
Легко видеть, что второй сомножитель делится на
10, т.к. он представляет сумму 10 слагаемых ,
каждое из которых оканчивается на 1.
Итак, 1110–1 есть произведение 10 на число,
делящееся на 10, и значит, делится на 100.

48.
Доказательство.
Всякое чётное число может быть выписано в
виде n=2k, где k – целое число. Поэтому n3+20n
может быть представлено следующим образом:
N=n3+20n=8k(k2+5).
Отсюда видно, что N делится на 8. Докажем, что
число k(k2+5) делится на 6. Продолжение →

делится.
Первое же слагаемое является произведением трёх
последовательных чисел. Поэтому один из
сомножителей этого произведения обязательно
делится на 3. Кроме того, из двух последовательных
целых чисел (а тем более трёх) одно является
чётным. Значит, произведение (k-1)k(k+1) делится
на 6, и требуемое доказано.

+4 является простым числом.
Решение.
Дополним n4 +4 до полного квадрата:
n4 +4n2+4-4n2 =(n2+2)2 – 4n2=(n2-2n+2)(n2+2n+2)
Число n4 +4 может быть простым только в том
случае, если либо n2-2n+2=1, либо n2+2n+2=1. Решая
эти уравнения, получим n=1, n= - 1. При n=±1 данное
выражение равно 5,т.е. является простым числом.
Ответ: n=±1

или 10х+у+ху=(х+у)2.
Т.к. х≤9 и у≤9, то 10х+у+ху≤180, а тогда х+у≤13; но при
х+у<13, 10х+у+ху≤130, значит, х+у≤11.
При х+у=10, х=9, у=1.
При х+у=9, х+у=8, х+у=7, х+у=6, х+у=5 – решений нет.
При х+у=4, х=1, у=3.
Ответ: 91, 63, 13

на 3 или в результате
деления на 3 даёт в остатке 1. Доказать это.

Решение.
Любое число можно представить в виде одного
из видов: 3k, 3k-1; 3k+1. Квадрат первого
выражения делится на 3, квадраты двух других
выражений при делении на 3 дают в остатке 1.

сумме кубов двух
последовательных натуральных чисел?
Решение.
Пусть для натуральных чисел k и n выполняется
равенство (k-1)2+k2+(k+1)2 =n3+(n+1)3 или
n3+(n+1)3=3k2+2. Если число n делится на 3 или даст
при делении на 3 остаток 1, то левая часть этого
равенства делится на 3n даёт остаток 2, так что 3k2+2=(3p-1)3 +27p3=54p3-27p2+9p-1,
K2=18p3-9p2+3p-1.
Отсюда следует, что число k2 при делении на 3 даёт
остаток 2, чего быть не может. Следовательно,
рассматриваемое равенство невозможно.

станет квадратом,
а после умножения на 3 – кубом натурального числа.
Решение.
Пусть х – наименьшее, натуральное число, такое, что 2х=в2,
3х=с3, где в и с – натуральные числа. Из равенства 2х=в2
следует, что х кратно 2. А т.к. 3х=с3, то х кратно 23=8 и
кратно 32=9, т.е. х=23∙32∙а6=72а6, где а – любое натуральное
число. Наименьшее х получаем при а=1.
Ответ: 72

разность
кубов – квадрат?

Решение.
102 – 62=100 – 36=64 =43
103 – 63=1000-216=784=282

m3+2 тоже простое.
Доказательство.
Любое простое число m, отличное от 3, можно
представить в виде 3n+1 или в виде 3n-1, где n Z. В
первом случае можно записать m2+2=9n2-6n+3 во
втором m2+2=9n2-6n+3.
Т.к. m≥2, то в любом случае m2+2 больше 3 и
делится на 3, значит, m2+2 может быть простым
числом, только если m=3. В этом случае m2+2=11
число простое, m3+2=24 – тоже простое.

однозначного числа.
Решение.
Выпишем все кубы однозначных чисел:
13, 23, 33, 43, 53, 63, 73, 83, 93.
Рассмотрим те из них, которые являясь
трёхзначными числами, могут быть равны
квадрату двузначных. Очевидно, что 53 и 73 не
могут быть квадратами двузначных чисел
(5 и 7 –простые числа). Продолжение →

63 =23∙33≠а2;
83=(23)3=29≠а2;
93=(32)3=36=(33)2=272=729.
Искомое число 729=272=93.
Ответ: 729

что при n чётным число n4 + 64n также
чётно (и больше 2), т.е. является составным.
Если n=2k+1, то, положив а=8m, будем иметь:
n4+ 64n=n4+64a4=(n2+8a2)2-16a2n2=
(n2-4an+8a2)(n2+4an+8a2).
При этом n2-4an+8a2=(n-2a)2+4a2>1, так что при
любом n рассматриваемое число составное.

на является квадратом целого числа.
Решение.
Обозначим пять последовательных целых чисел
следующим образом: (n-2), (n-1), n, (n+1), (n+2),
тогда (n-2)2+(n-1)2+n2+(n+1)2+(n+2)2=5(n2+2). Для того
чтобы 5(n2+2) было квадратом, необходимо, чтобы
n2+2, т.е. n2 должно оканчиваться на 3 или 8, что
невозможно. Следовательно, n2+2 не делится на 5.

виде суммы двух,
трёх, четырёх и пяти простых слагаемых.
Решение.
Наименьшая сумма пяти простых слагаемых равна,
очевидно, 10, и поэтому искомое простое число а не
меньше 11. Однако 11=2+9=3+8=5+6=7+4 не может
быть представлено в виде суммы двух простых
чисел и, следовательно, а≠11. С другой стороны,
13=2+11=3+3+7=2+2+2+7=2+2+2+2+5 удовлетворяет условию задачи, и поэтому а=13. Продолжение →

не меньше, чем 3+5+7+11+13=39 (заметим, что число 2 среди слагаемых не должно быть, т.к. по условию число а нечётно), так что а≥41. Но 41 нельзя представить в виде суммы, например, двух простых слагаемых.
Следующая по величине сумма пяти простых слагаемых получается, если заменить 13 – наибольшее из слагаемых – на 17 (следующее простое число), и эта сумма равна 43. Подбором убеждаемся, что 43=2+41=7+17+19=2+5+17+19=3+5+7+11+17. Следовательно, искомое число а равно 43.
Ответ: 43

из них больше 1. Докажите,
что произведение всех данных чисел больше 1.
Доказательство.
Разобьём все числа подряд на группы по 22 числа.
Получим 90 групп. Произведение всех чисел в каждой
группе больше 1. Кроме того, у нас осталось ещё 9
чисел. Выберем в первых 9 группах по одному
наибольшему числу. Каждое выбранное число больше 1.
Оставшиеся первоначально после объединения 9 чисел
распределим в каждую из групп по одному. Так что
в них вновь станет по 22 числа. Значит, произведение
чисел в каждой группе больше 1. Но оно равно
произведению всех данных 1989 чисел. Следовательно, произведение больше 1.