Презентация, доклад Решение задач по геометрии

с углублённым изучением отдельных предметов г.Тамбова Е.В.Кирина

каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
Три биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности.
Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.
Три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром.
Три серединных перпендикуляра сторон треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром описанной окружности.

угла, пересекаемые рядом параллельных прямых, рассекаются ими на пропорциональные части.
Признаки подобия треугольников. Два треугольника подобны, если выполнено хотя бы одно из условий:
два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника;
две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключённые между пропорциональными сторонам, равны;
три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника.
Свойства подобных треугольников. В подобных треугольниках
сходственные элементы (например, медианы, высоты, периметры,
Радиусы вписанной и описанной окружностей и др.) относятся как
сходственные стороны, и это отношение равно коэффициенту подобия.
Площади подобных треугольников относятся как квадраты сходственных
сторон, т.е. отношение площадей подобных треугольников равно
квадрату коэффициента подобия.

высота, проведённая к гипотенузе, равна 12 см.

Решение.
Составим и решим систему:



Решая систему, находим стороны: 15 см, 20 см, 25 см.

Ответ: 15 см, 20 см, 25 см.

проведена прямая, проходящая через середину биссектрисы АL. В каком отношении эта прямая делит площадь треугольника АВС?

Решение.

Пусть D –середина биссектрисы AL, К – точка пересечения BD и АС. Проведём LM//ВК. Пусть АК=х.
По теореме Фалеса АК=КМ, поэтому КМ=х. По свойству биссектрисы BL:LC=АВ:АС=6:9=2:3.

имеем: КМ:МС=BL:LC= .

Т.о., Тогда



Ответ: 2:5

сторонам. Эти прямые разбивают треугольник на шесть частей, три из которых – треугольники с площадями S1, S2,S3. Найти площадь S треугольника.

Решение.

Треугольник МРО подобен треугольнику АВС с коэффициентом подобия

и этот коэффициент равен ,
т.е.

Складываем эти равенства и, учитывая, что AD+DQ+QC=AC,

получаем: .

Отсюда

Ответ:

и BCKM. Доказать, что отрезок DM вдвое длиннее медианы ВР треугольника АВС.
Решение.

Продолжим отрезок ВР и отложим РТ=ВР. Рассмотрим треугольники DBM и ВСТ. Отрезки ВМ и ВС равны как стороны квадрата, АВ=СТ – как противоположные стороны параллелограмма АВСТ. Кроме того,

проведены две прямые, параллельные сторонам треугольника. Эти прямые разбивают треугольник на три части – один параллелограмм и два треугольника, площади которых равны S1 и S2. Найти площадь параллелограмма.

Решение.
Пусть х – искомая площадь параллелограмма PBQD. Отметим, ∆APD~∆ABC с коэффициентом подобия . Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, кроме того, площадь ∆ABC равна S1+S2+x.

Поэтому (1)


Аналогично (2)

и получаем, что


Ответ:

АВ прямоугольного треугольника АВС пересекает катет АС в точке М, а продолжение катета ВС – в точке N. Найти гипотенузу АВ, если Р – середина АВ, МР = а, MN = в.

Решение.
Пусть АВ = 2х. ∆АМР ~ ∆NВР
(по двум углам: <АМР = <В и
Поэтому , откуда .

Итак, АВ = 2

Ответ: 2

b

ВС = а, радиус вписанной окружности равен r. Найти радиус двух равных окружностей, касающихся друг друга, если одна из них касается сторон АВ и ВС, а другая - сторон ВС и АС.

Решение.
Отметим (Рис. 1), что ВС = BD + DC. Так как точка О лежит на биссектрисах углов треугольника АВС,
то , откуда (1)

Рис. 1

радиусы О1Р и О2Р вписанных окружностей (Рис. 2). Отметим, что ВС=ВР+PQ +QC. Пусть х – искомый радиус. Т.к. точки О1 и О2 лежат на биссектрисах углов В и С, то , кроме того, PQ=2x. Отсюда (2)
Обозначим . Тогда из равенств (1) и (2) получим систему

уравнений

Ответ:

Рис. 2

поступающих в ВУЗы. М.:«Уникум-Центр», «Поматур», 2002 2. Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. «Геометрия, 10-11» М.:«Просвещение», 2006