Презентация, доклад Решение систем линейных уравнений

некоторым оценкам более 75% всех задач). Можно с полным основанием утверждать, что решение линейных систем является одной из самых распространенных и важных задач вычислительной математики. Конечно, существует много методов и современных пакетов прикладных программ для решения СЛАУ, но для того, чтобы их успешно использовать, необходимо разбираться в основах построения методов и алгоритмов, иметь представления о недостатках и преимуществах используемых методов.

Почему именно системы уравнений?

Математика – наука молодых. Иначе и не может быть. Занятия математикой – это такая гимнастика ума, для которой нужны вся гибкость и вся выносливость молодости.

Н. Винер

aij и bi (i=1,…,m; b=1,…,n) – некоторые известные числа, а x1,…,xn – неизвестные.

Определение СЛАУ

решение?
Что такое главный определитель системы?
Каким образом находят определители второго и третьего порядков?

итерации (метод Якоби);
метод Гаусса-Зейделя;
метод релаксации.

Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть - и далее подтвердить то, - что, следуя этому методу, мы достигнем цели.

Г. Лейбниц

систему записывают в матричном виде;
- вычисляют главный определитель системы:




- вычисляют дополнительные определители системы:






- если главный определитель системы не равен нулю, то находят значения всех неизвестных по формулам:

Метод Крамера

семье врача. Уже в детстве он опережал своих сверстников в интеллектуальном развитии и демонстрировал завидные способности в области математики. В 18 лет он успешно защитил диссертацию. Через 2 года Крамер выставил свою кандидатуру на должность преподавателя в Женевском университете. Юноша так понравился магистрату, что специально для него и ещё одного кандидата на место преподавателя была учреждена отдельная кафедра математики, где Крамер и работал в последующие годы.  Талантливый учёный написал множество статей на самые разные темы: геометрия, история, математика, философия. В 1730 году он опубликовал труд по небесной механике.

Габриэль Крамер

швейцарский математик, ученик и друг Иоганна Бернулли, один из создателей линейной алгебры

размерности n x n), он не применяется для машинного решения больших СЛАУ. Время, необходимое на вычисление одного определителя примерно такое же, как и время на решение одной системы уравнений при использовании метода Гаусса. Однако он иногда используется при ручном счёте и в теоретических выкладках.

Недостатки метода Крамера

Трудность решения в какой-то мере входит в само понятие задачи: там, где нет трудности, нет и задачи.

Д. Пойа

числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы.

Алгоритм состоит из двух этапов.
На первом этапе осуществляется так называемый прямой ход, когда путём элементарных преобразований над строками систему приводят к ступенчатой или треугольной форме.

Метод Гаусса

На втором этапе осуществляется так называемый обратный ход, суть которого заключается в том, чтобы выразить все получившиеся базисные переменные через небазисные и построить фундаментальную систему решений.

смерти: Гёттинген
Страна: Брауншвейг-Люнебург
Научная сфера: математика, физика, астрономия
Альма-матер: Гёттингенский университет

Карл Фридрих Гаусс

Карл Фридрих Гаусс

немецкий математик, астроном и физик

линейных уравнений;
в силу простоты и однотипности выполняемых операций пригоден для счета на электронно-вычислительных машинах.
Применение:

Достоинства метода Гаусса

нахождение матрицы, обратной к данной;
численное решение СЛАУ в вычислительной технике

и до него. Первое известное описание данного метода - в китайском трактате «Математика в девяти книгах», составленном между I в. до н. э. и II в. н. э.
В ней собраны 246 задач, изложенных в традиционном восточном духе: формулируется задача, сообщается готовый ответ и указывается способ решения.

"Математика в девяти томах"

в обучении программированию учащихся и студентов.
Система Pascal ABC основана на языке Delphi Pascal и призвана осуществить постепенный переход от простейших программ к модульному, объектно-ориентированному, событийному и компонентному программированию.

Решение СЛАУ средствами языка программирования

Pascal ABC

это быть точным, второе - быть ясным и, насколько можно, простым.

Л. Карно

300 заготовок типа Б и 675 заготовок типа В. При этом можно применять три способа раскроя. Количество заготовок, получаемых из каждого листа при каждом способе раскроя, указано в таблице:

Примеры использования систем линейных уравнений

Правильному применению методов можно научиться только применяя их на разнообразных примерах.

Г. Цейтен

6000 т чугуна, 4000 т железной руды и 3000 т апатитов. Разгрузку можно производить как непосредственно в железнодорожные вагоны для последующей доставки потребителям, так и на портовые склады. В вагоны можно разгрузить 8000 т, а остаток груза придется направить на склады. Необходимо учесть, что поданные в порт вагоны не приспособлены для перевозки апатитов. Стоимость выгрузки 1 т в вагоны составляет соответственно 4,30, 5,25 и 2,20 денежных единиц.
Записать в математической форме условия полной разгрузки судов, если затраты на нее должны составить 58850 ден. ед.

Главная сила математики состоит в том, что вместе с решением одной конкретной задачи она создаёт общие приёмы и способы, применимые во многих ситуациях, которые даже не всегда можно предвидеть.

М. Башмаков