Презентация, доклад по теме: Делимость чисел

- «теория чисел». Основной объект теории чисел - натуральные числа. Главное их свойство, которое рассматривает теория чисел, - это делимость чисел. Для быстрого выяснения делимости одного числа на другое существуют признаки делимости.

ли число кратным заранее заданному без необходимости выполнять фактическое деление. Как правило, основано на действиях с частью цифр из записи числа в позиционной системе исчисления (обычно десятичной).
Теорией чисел занимались К.Ф.Гаусс, П. Ферма,
Л Фибоначчи, П.Л.Чебышев и И.М.Виноградов.

натуральными.

Определение 2. Натуральные числа, им противоположные и число 0 называются целыми числами

на натуральное число b (пишут a:b) , если существует натуральное число q, такое, что b·q=a. При этом число a называется делимое, число b – делитель,
число q – частное. Число a называют также кратным числу b.

на сумме цифр числа;
признаки делимости, основанные на последней цифре числа и сумме цифр числа;
признаки делимости, связанные с разбиением цифр числа на группы (метод остатков).

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда последняя цифра этого числа делится на 2.

Признак делимости на 4. Число делится на 4 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя последними цифрами этого числа, делится на 4.

Признак делимости на 5. Если последняя цифра числа 5 или 0, то число делится на 5.

Признак делимости на 10. Если число оканчивается на 0, то оно делится на 10.

3, если его сумма цифр делится на 3

Аналогичный признак и для 9.

Признак делимости на 9. Если сумма цифр числа делится на 9, то само число делится на 9.

число Х делилось на 6, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 2 и на 3.

Признак делимости на 12. Для того чтобы число Х делилось на 12, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 3 и на 4.

Признак делимости на 15. Для того чтобы число Х делилось на 15, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 3 и на 5.

составное число n=bc, где числа b и c таковы, что НОД(b,c)=1, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на b и c.

и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 (364 делится на 7, так как 36 - (2 • 4) = 28 делится на 7).

2 признак. Для того, чтобы натуральное число делилось на 7 необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма чисел, образующих нечётные группы по три цифры (начиная с единиц) взятых со знаком «+» и чётных со знаком «-» делилась на сем (например, число 689255. Первая группа со знаком «+» (255), вторая со знаком «-» (689). Отсюда 255 + (-689) = -434. В свою очередь 434 : 7 = 62).

которых сумма цифр, стоящих на нечётных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на чётных местах, либо отличается от неё на число, делящееся на 11.

2) Разность единиц и десятков. Ещё один признак делимости числа на 11: отнимайте единицы от десятков. Если результат делится на 11, то и само число тоже.

рядом стоящие цифры (если необходимо, добавляется нуль в конец или начало числа). Если сумма полученных чисел делится на 11, то и само число делится на 11.

делится на n-ю степень двойки тогда и только тогда, когда число, образованное его последними n цифрами, делится на ту же степень. (n>0)

Признак делимости на 5n:
Число делится на n-ю степень пятёрки тогда и только тогда, когда число, образованное его последними n цифрами, делится на ту же степень. (n>0)

налево (в самой левой группе может быть от 1 до n цифр) и найдем сумму этих групп, считая их n-значными числами. Эта сумма делится на 10n-1 тогда и только тогда, когда само число делится на 10n-1.

Признак делимости на 10n:
Число делится на n-ю степень десятки тогда и только тогда, когда n его последних цифр — нули.

налево (в самой левой группе может быть от 1 до n цифр) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их n-значными числами. Эта сумма делится на 10n+1 тогда и только тогда, когда само число делится на 10n+1.

3-я с 6-й. Докажите, что это число кратно 7, 11, 13.
Решение.
Обозначим 1я – а, 2я – в, 3я – с , тогда число авсавс = 100000а + 10000в + 1000с + 100а + 10в + с =1000 (100а + 10в + с) + авс = 1000авс + авс = 1001авс = 11*7*13 => авс кратно 7,11,13.

оно делится без остатка на 315.
Решение.
Так как 315= 5* 7* 9, то последняя цифра искомого числа 0 или 5. Если это 0, то одна из его цифр 6 (по признаку делимости на 9), но из чисел 4446, 4464, 4644, 6444 ни одно не делится на 7. Если же последняя цифра 5, то одна из цифр 1. Условию отвечает только число 44415.

себя.
2. Нуль делится на любое число, не равное нулю.
3. Если a⋮b и b⋮c, то a ⋮c.
Если a делится на b (b≠ 0) и b делится на a (a≠0), то числа a и b либо равны, либо являются противоположными числами.
4. Если в сумме целых чисел каждое слагаемое делится на некоторое число, то сумма делится на это число.
5. Если в разности целых чисел уменьшаемое и вычитаемое делятся на некоторое число, то разность делится на это число.
6. Если в сумме целых чисел все слагаемые, кроме одного, делятся на некоторое число, то сумма не делится на это число.
7. Если в произведении целых чисел один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число
8. Если в произведении двух целых чисел один из множителей делится на m, а другой на n, и произведение делится на mn

перечисленных свойств и связаны с последовательным расположением целых чисел:
произведение n последовательных чисел делится на n;
произведение трех последовательных чисел делится на 6;
произведение двух последовательных четных чисел делится на 8

6, значит a = 6m => a²-12a=
=(6m)²-12·6m=36m²-2·6·6m=36m²-2·36m=36(m²-2m) ⋮36, т.е. a²-12m кратно 36.

четное.
Решение.
Пусть n - целое число. n²+n=n(n+1)- произведение 2-х последовательных чисел. Значит одно из них четное, а другое нечетное. Произведение четного и нечетного чисел есть число нечетное.

на 18, нужно, чтобы каждое слагаемое суммы делилось на 18. Или на 2 и 9. Первое слагаемое делится на 18. Второе слагаемое делится на 2 (28- четное) и на 9 (т.к. 27 делится на 9), следовательно, 2717·28 делится на 18. Т.е. 1715+1716+2717+2718 делится на 18.

существует единственная пара целых чисел q и r, таких, что a=bq+r, где 0 ≤ r < b. q-целое, r- натуральное или нуль, причем r может принимать лишь b различных значений 0,1,2,… b-1.
Если остаток равен нулю, то a делится на b.

4 дает остаток 1.
Решение.
Пусть эти числа 2k и 2k+1. Тогда (2k)²+(2k+1)²=4k²+4k²+4k+1=4(2k²+k) +1. Т.е. число делится на 4 и остаток 1.

12 быть равным 2?
Решение.
Пусть a делится на 3. Тогда a=3n. Пусть a делится на 12. Тогда a=12m+2. Имеем 3n=12m+2: 3n делится на 3 и 12m делится на 3. Следовательно, 2 делится на 3, что невозможно, значит остаток не может быть равным 2

6 дают разные остатки. Докажите, что сумма a+b делится на 6.
Решение.
По условию a – четное, значит a=2n и a= 6k+?1. Т.к. a- четное, 6k –четное, то и ?1- четное; Аналогично, b- четное, b=6p+?2, 6p-четное, значит ?2- четное;
При делении на 6 остатки могут быть:1,2,3,4,5. Т.к. остатки четные, то ?1=2, а ?2=4.
a+b=6k+?1+6p+?2=6(k+p)+(?1+?2)=6(k+p)+6 – сумма делится на 6.

отличное от 1 и такое, которое делится только на 1 и на самого себя. Поскольку на 1 и на самого себя делится любое натуральное число, то из этого определения вытекает, что у простого числа других делителей нет.
Определение 2. Составным числом называется натуральное число, отличное от 1 и не являющееся простым. Следовательно, у составного числа существует, по крайней мере, один делитель, отличный от 1 и самого числа.

называются множителями

(Например, числа 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 и т.д. являются простыми. Числа 4 , 6 , 8 , 9 , 10 , 12 и т.д. являются составными)

числом.

сумма будет четным числом, а полусумма - натуральным числом.
Это натуральное число будет больше, чем меньшее из заданных последовательных простых чисел, и меньше, чем большее из них.
Так как заданные простые числа являются последовательными простыми числами, то между ними не может быть других простых чисел, а, значит, их полусумма является составным числом.

на произведение простых множителей p1, p2, …, pn, при этом разложение имеет вид a=p1·p2·…·pn, причем это разложение единственно, если не учитывать порядок следования множителей. Любое натуральное число, отличное от 1 , можно представить в виде произведения множителей, являющихся простыми числами, причем единственным образом

записать более компактно, используя степень числа. Пусть в разложении числа a простой множитель p1 встречается s1 раз, простой множитель p2 – s2 раз, и так далее, pn – sn раз. Тогда разложение на простые множители числа a можно записать как a=p1s1·p2s2·…·pnsn. Такая форма записи называется каноническим разложением числа на простые множители

чисел, находим наименьший простой делитель p1 числа a, после чего вычисляем a1=a:p1. Если a1=1, то число a – простое, и оно само является своим разложением на простые множители. Если же a1 на равно 1, то имеем a=p1·a1 и переходим к следующему шагу.
2)Находим наименьший простой делитель p2 числа a1, для этого последовательно перебираем числа из таблицы простых чисел, начиная с p1, после чего вычисляем a2=a1:p2. Если a2=1, то искомое разложение числа a на простые множители имеет вид a=p1·p2. Если же a2 на равно 1, то имеем a=p1·p2· a2 и переходим к следующему шагу.

простой делитель p3 числа a2, после чего вычисляем a3=a2:p3. Если a3=1, то искомое разложение числа a на простые множители имеет вид a=p1·p2·p3. Если же a3 на равно 1, то имеем a=p1·p2·p3·a3 и переходим к следующему шагу.
4)Находим наименьший простой делитель pn числа an-1, перебирая простые числа, начиная с pn-1, а также an=an-1:pn, причем an получается равно 1. Этот шаг является последним шагом алгоритма, здесь получаем искомое разложение числа a на простые множители: a=p1·p2·…·p

множители, для наглядности представляют в виде следующей таблицы, в которой слева от вертикальной черты записывают последовательно в столбик числа
a, a1, a2, …, an, а справа от черты – соответствующие наименьшие простые делители p1, p2, …, pn.

Осталось лишь рассмотреть несколько примеров применения полученного алгоритма для разложения чисел на простые множители

разложение числа на простые множители позволяет найти все делители числа и число делителей числа.

числа 816 на простые множители. Простыми множителями в данном примере являются числа 2 , 3 и 17.

11n таких делителей тоже 3, а у числа 6n — четыре. Сумма цифр наименьшего такого числа n равна?

n, то n делится на 11. Из того, число 6n имеет на один простой делитель больше, следует, что либо 2 делит n, а 3 не делит, либо наоборот. Итак, нам нужно найти самое маленькое из чисел, список различных простых делителей которого состоит из 11, точно одного из чисел 2 и 3, и еще какого-то простого числа. Ясно, что это произведение 2*11*5=110.
Ответ — А.

Проверим. Пусть p=2. Т.к. p²+2=2²+2=6- составное, то p≠2. Пусть p=3. Тогда p²+2=11- простое число. Покажем теперь, что нет простых чисел p>3, для которых p²+2- простое число. Пусть p>3- простое число, тогда p не делится на 3, значит по теореме о делении с остатком p=3n+1 или p=3n+2, где n- натуральное число. Если p=3n+1, то p²+2=3(3n²+2n+1) делится на 3, т. е. не является простым. Если же p=3n+2, то p²+2=3(3n²+4n+2) также делится на 3, т.е. не является простым

n – натуральные числа и
m > n, то при разбиении множества, состоящего из m элементов, на n классов, хотя бы в один из классов попадёт более одного (не менее двух) элемента.
Если в множестве А меньше элементов, чем в множестве В, то обязательно от некоторых элементов множества А должно исходить более одной стрелки.

немецкого математика Петера Густава Лежена Дирихле. В простой форме принцип формулируется так: «Если вещей у нас больше, чем ящиков, по которым мы хотим их разложить, то, по крайней мере, в одном из ящиков должно быть две или более число вещей». Или этот принцип высказывают в шутливой форме: «Нельзя посадить семерых зайцев в три клетки так, чтобы в каждой клетке находилось не больше двух зайцев».

родились в одном месяце.
Решение:
Допустим, что в каждом месяце родилось не более 2 школьников. Тогда на 12 месяцев приходится не более 24 детей. Противоречие.

оценили свой капитал от 10 млн. до 10 млрд. рублей (с округлением до одного миллиона). Можно ли утверждать, что найдется более ста миллионеров с одинаковыми «анкетными данными»?
Решение.
Можно. В противном случае каждую анкетную сумму (9991 различное значение) имеете не менее 100 миллионеров, то есть всего их не более 999100.