Презентация, доклад по математике Ряды

ряда или k–ым членом ряда.

где n – некоторое натуральное число.
 
  называют также n-ой частичной суммой числового ряда.

последовательности частичных сумм  .

Если предел последовательности частичных сумм числового ряда не существует или бесконечен, то

ряд  называется расходящимся.

есть, 

что гармонический ряд расходится.

где s – некоторое действительное число, называется
 обобщенно гармоническим числовым рядом.

1) Данный ряд расходится при 
. 2) Данный ряд сходится при  .

 называется знакоположительным, если все его члены положительны, то есть,  .

Числовой ряд   называется знакочередующимся, если знаки его соседних членов различны. Знакочередующийся числовой ряд можно записать в виде    или 

называется знакопеременным, если он содержит бесконечное множество как положительных, так и отрицательных членов.

 сходится, то 

Но ряд может и расходиться.
.

Данный признак означает, что если  , то ряд расходится - это условие достаточное

ряда  не превосходит соответствующего члена ряда , т.е. выполняется 

Тогда, если сходится ряд 

то сходится и ряд 

Если ряд  

расходится, то ряд 

  также расходится.
Этот признак остается в силе, если условие выполняется не для всех n, а лишь начиная с некоторого номера n = N.

с положительными членами 

одновременно сходятся или одновременно расходятся.

прогрессией

(q>0) 

которая при q < 1 сходится и имеет сумму
 S = a / (1-q), а при q≥1 расходится,

или с расходящимся гармоническим рядом 

если С>1.

                           ;
2. предел последовательности модулей членов ряда равен нулю:                .

то ряд сходится.

(1)
называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов: 
(2)
Если же знакопеременный ряд (1) сходится, а ряд (2) расходится, то данный знакопеременный ряд  (1) называется условно или неабсолютно сходящимся рядом.
 

 на абсолютную и условную сходимость.

 - знакочередующийся числовой ряд.

, то есть члены ряда монотонно убывают по

абсолютной величине.
Следовательно, знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница

ряд с положительными членами на сходимость, воспользовавшись предельным признаком сравнения. Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом   .


Следовательно, оба ряда вместе расходятся.
Таким образом, сам знакочередующийся ряд сходится, а ряд из его модулей расходится. Следовательно, наш знакочередующийся числовой ряд сходится условно.

определёнными на некотором множестве, называется функциональным рядом.

Сумма первых n членов ряда 

 является частичной суммой данного функционального ряда. Общий член

 есть функция от х, определённая в некоторой области.

предел частичных сумм этого ряда 

 (где 

 − сумма числового ряда),
то точка 

называется точкой сходимости функционального ряда 

  Если числовой ряд 

 расходится, то точка 

называется точкой расходимости функционального ряда.

при которых функциональный ряд сходится.
Область сходимости, состоящая из всех точек
сходимости, обозначается   .
Отметим, что   R.
Функциональный ряд сходится в области   ,
если для любого    он сходится
как числовой ряд,
при этом его сумма будет некоторой функцией 

Это так называемая предельная функция последовательности    :    .

Даламбера. Для ряда 

 составляем 

 и рассматриваем предел при фиксированном х: 

  Тогда 

является решением неравенства 

 и решением уравнения 

 (берём только те решения уравнения, в которых соответствующие числовые ряды сходятся).

сходимости ряда определяется неравенством 

 и уравнением 

  Исследуем дополнительно сходимость исходного ряда в точках, являющимися корнями уравнения:

(по признаку Лейбница.
Таким образом, область сходимости 

 ряда 

имеет вид: 

 .

применим к нему признак Даламбера.

Пусть существует

,
где

 .

сходится при 

  тогда интервал сходимости: 

  При 

 ряд расходится, так как 

 . Используя обозначение 

 , получим формулу для определения

радиуса сходимости степенного ряда:

 

степенного ряда также можно использовать радикальный признак Коши, радиус сходимости ряда определяется из соотношения 

 .

Если окажется, что предел

вид: 

  причём R = 5.