Презентация, доклад по математике Решето Эратосфена

Скрипникова Ю.Ю.

Саратов, 2015

либо простое, либо может быть представлено в виде произведения простых чисел, т.е. простые числа – это кирпичики из которых строятся остальные натуральные числа. Простые числа в ряду натуральных встречаются неравномерно - в одних частях ряда их больше, в других – меньше. Но чем дальше мы продвигаемся по числовому ряду, тем реже встречаются простые числа.

составных числах

2. Изучить метод “решето Эратосфена”

3. Создать анимационную модель решета Эратосфена

4. Научиться применять данный материал в практической деятельности.

доказал, что простых чисел бесконечно много, т.е. за каждым простым числом есть еще большее простое число. Для отыскания простых чисел другой греческий математик того же времени Эратосфен придумал специальный способ, называемый «решетом Эратосфена».

составные числа относятся к натуральным числам.
Простые числа – это натуральные числа, которые имеют только два положительных делителя, а именно самих себя и 1.
Составными числами называют натуральные числа, имеющие более двух делителей.
Число 1 не относится ни к простым, ни к составным числам.

17, 131, 523 являются простыми. Несомненно, это далеко не очевидно. Но все наши попытки подобрать какой-либо положительный делитель любого из этих чисел, отличный от единицы и самих этих чисел, закончатся неудачей.
В качестве примеров составных чисел приведем 6, 63, 121 и 6697.Число 6 имеет кроме положительных делителей 1 и 6 еще и делители 2 и 3, поэтому 6 – действительно составное число. Делителями 63 являются числа 1, 3, 7, 9, 21 и 63. Число 121 равно произведению 11•11, поэтому его делителями являются 1, 11 и 121. А число 6697 составное, так как его положительными делителями кроме 1 и 6697 являются еще и числа 37 и 181.
Логично, что возникает вопрос, что существует ли самое большое простое число?

единицы, является простым числом.

Доказательство.
Пусть a – натуральное число, большее единицы, и b – наименьший натуральный и отличный от единицы делитель числа a. Докажем, что b – простое число методом от противного.
Предположим, что b – составное число. Тогда существует делитель числа b (обозначим его b1), который отличен от 1,и от b. Величина делителя не превосходит величины делимого , то должно выполняться условие 1Так как число a делится на b, и b делится на b1, то существуют такие числа q и q1, что a=b•q и b=b1•q1, откуда a= b1•(q1•q). Отсюда следует, что b1 является делителем числа a. Учитывая полученные выше неравенства 1

есть, предположим, что простых чисел всего n штук, и эти простые числа есть p1, p2, …, pn. Покажем, что мы всегда можем найти простое число, отличное от указанных.
Рассмотрим число, p = p1•p2•…•pn +1. Понятно, что это число отлично от каждого из простых чисел p1, p2, …, pn. Если число p - простое, то теорема доказана. Если же это число составное, то в силу предыдущей теоремы существует простой делитель этого числа (обозначим его pn+1). Покажем, что этот делитель не совпадает ни с одним из чисел p1, p2, …, pn.
Если бы это было не так, то по свойствам делимости произведение p1•p2•…•pn делилось бы на pn+1. Но на pn+1 делится и число p, равное произведению p1•p2•…•pn+1. Отсюда следует, что на pn+1 должно делиться второе слагаемое этой суммы, которое равно единице, а это невозможно. Так доказано, что всегда может быть найдено новое простое число, не заключающееся среди любого количества наперед заданных простых чисел.

не превосходит , где - арифметический квадратный корень из a.

(Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа а –это такое неотрицательное число, квадрат которого равен самому числу а.)

a (число b является простым, что следует из теоремы 1). Тогда существует такое целое число q, что a=b•q, причем b ≤ q(при b>q нарушится условие, что b – наименьший делитель числа a). Умножив обе части неравенства b ≤ q на положительное и большее единицы целое число b (это нам позволяют сделать свойства неравенств), получаем b·b ≤b·q , откуда и следует, что b²≤a и b ≤

задачи.