Презентация, доклад по математике по теме:Подготовка 9-х классов к ОГЭ по математике по темеЗадания с параметром

поэма! -считает автор одной из первых книг про параметры С.А.Тынякин.

x ; α) = 0 – это решить семейство
уравнений, получающихся из
уравнения ƒ( x; α) = 0 при любых
действительных значениях
параметра.

при
которых или при переходе через
которые происходит качественное
изменения уравнения.

которые необходимо решить либо для любого значения
параметра (параметров), либо для значения параметра,
принадлежащих заранее оговоренному множеству.

Тип 2. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для
которых требуется определить количество решений в зависимости
от значения параметра (параметров).

Тип 3. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для
которых требуется найти все те значения параметра, при которых
указанные уравнения, неравенства, их системы и совокупности
имеют заданное число решений ( в частности, не имеют или имеют
бесконечное множества решений ).

Тип 4. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для
которых при искомых значениях параметра множество решений
удовлетворяет заданным условиям в области
определения.

Способ 2: графический.
Способ 3: решение
относительно параметра.

– 2
определить α так, чтобы число 3
было его корнем.
Решение.
Если число 3 является корнем уравнения,
то оно обращает его в верное равенство.
Подставим x = 3 в уравнение и решим его
относительно α: (α – 1) · 3 = α – 2;
3α – α = 3 – 2;
α = 0,5.
Итак, при α = 0,5 число 3 является корнем
уравнения (α – 1)x = α – 2.
Ответ: при α = 0,5.

ровно один из корней уравнения
x² - 2x + 2m – 3 = 0 равен нулю.
Решение. Если x = 0, то имеем:
0² - 2·0 + 2m – 3 = 0;
2m = 3;
m = 1,5.
Поверим, не равняется ли второй корень
уравнения нулю x²- 2x = 0,
х = 0 ν х = 2.
Ответ: при m = 1,5.

уравнения
αx = 12 и 3x = α имеют общие корни?
Решение.Решим каждое уравнение при α ≠ 0
(если а =0, то первое уравнение не имеет
решения, что противоречит условию).
αx = 12, x = 12/а;
3x = α, x = а/3. Приравниваем полученные
корни 12/a = a/3, α² = 36, и получаем,
что а = 6,а = - 6.
Ответ: при a = 6, a = - 6.

.

параметрами качественное изменение
уравнения происходит при переходе
коэффициента а через нуль. То есть
контрольными значениями будут те значения
коэффициента при переменной x, при
которых он обращается в нуль, так как при
таких значениях невозможно деление на
коэффициент при x.

2α(α – 2) x = α – 2.
Решение. Это уравнение является линейным
относительно переменой x. Контрольными будут
те значения параметра, при которых
коэффициент при x обращается в 0.
Рассмотрим случаи:
α (α – 2) = 0 и α (α – 2) ≠ 0.

0 уравнение 2а(а-2)х = а-2 принимает вид: 0·x =-2, это уравнение не имеет корней.
2)При α = 2 уравнение принимает вид: 0·x = 0,
этому уравнению удовлетворяют любые значения
переменной x. Если же параметр выбирается
не равным 0 и 2, то коэффициент при x отличен от
нуля и, следовательно, на этот коэффициент можно
разделить обе части уравнения.
Получим: x = , x = .
Ответ : при а = 0, нет корней;
при a = 2, x – любое;
при a ≠ 0, α ≠ 2, x = .

(α² - 1) x = α² - 3α +2.
Решение. Это уравнение является линейным
относительно переменной x. Контрольными
будут те значения параметра, при которых
коэффициент при x обращается в 0.
Рассмотрим случаи α² - 1 = 0 и α²- 1 ≠ 0.
Удобно разложить обе части уравнения на
множители: (α – 1)(α + 1)x = (α – 1)(α – 2).

вид: 0 · x =0 , значит x – любое число.
При α = -1, заданное уравнение принимает вид:
0 · x = 2, значит уравнение корней не имеет.
При α ≠ ± 1, можно разделить обе части уравнения
на α² - 1 ≠ 0: x = ; x = .

Ответ: при α = 1, x – любое;
при α = -1, нет корней;
при α ≠ ±1, x = .

.

1) αx = 7; 5) (α² - α)x = α;
2) (α - 3) x = 6; 6) αx = α² - α;
3) (α - 3) x = α - 6; 7) (α² - 5α) x = α²-25;
4) αx = α; 8) αx - 4 = x;
9) (α²- 25)x = α² - 7α + 10.

нет решения;
при α ≠ 0, x = .
2) при α = 3, нет решения;
при α ≠ 3, x = .
3) при α = 3, нет решения;
при α ≠ 3, x = .
4) при α = 0, х – любое;
при α ≠ 0, x = 1.

α =1 нет решений;
при.α ≠ 0 и α ≠ 1, x = .
6) при α = 0, x - любое; при α ≠ 0, x = α -1 .
7) при α = 0, нет решений;
при α = 5, x – любое ,при .α ≠ 0 α ≠ 5, х=
8) при α = 1, нет решений;
при α ≠ 1, x = .
9) при α = 5, х - любое;
при α = -5, нет решений;
при α ≠ ±5, х = .

к корням уравнений

которых уравнение α(2α + 3)х + α² = α²x +3α
имеет единственный отрицательный корень.
Решение. Данное уравнение равносильно следующему:
α(α + 3)х = (3 – α)α. Если α(α + 3) ≠ 0, то есть α ≠ 0, α ≠ -3,
то уравнение имеет единственный корень х = ,
х < 0, если < 0. Решив это неравенство методом
интервалов, имеет: α < -3 или α > 3.
Итак, данное уравнение имеет единственное
отрицательное решение при α < -3 или α > 3.
Ответ: при α < -3 или α > 3.

с параметрами.

неравенство mx + 1 > 2(x – 1).
Решение. Данное неравенство равносильно
следующему: mx – 2х > -2 – 1 ;
(m – 2)x > -3.
Данное неравенство является линейным,
поэтому контрольным значением для него
будет m -2 = 0.

0, то есть m > 2, х > , x > ;
при m – 2 < 0, то есть m < 2, х < ;
при m = 2 неравенство принимает вид 0 · x > - 3,
здесь x - любое действительное число.
Ответ: при m > 2, х > ;
при m < 2, x < ;
при m = 2, х - любое действительное
число.

неравенство 2α(α – 2)x > α – 2.
Решение. Данное неравенства является линейным относительно переменной x.
Контрольными будут те значения параметра,
при которых коэффициент α(α – 2) при х обращается в 0. Нули коэффициента α = 0, α = 2 разбивают множества действительных чисел на
три промежутка: (- ∞;0) U (0;2) U (2;+∞).

а = 2; 3) а < 0; 4) 0 < а < 2; 5) а > 2.
1) При α = 0, неравенство принимает вид
0 · х > -2, т. е. х-любое действительное число.
2) При α = 2, неравенство принимает вид
0 · х > 0, т. е. не имеет решений.
3) При α < 0, коэффициент α(α – 2) > 0
(определим методом интервалов знаки
многочлена p(α) = α (α - 2)),
Поэтому x > , x > .

α (α – 2) < 0, поэтому x < .
5) При α > 2, коэффициент α (α – 2 ) > 0,
значит, x > .

Ответ: при α = 0, x – любое;
при α = 2, решение нет;
при 0 < α < 2, х < ;
при α < 0 или α > 2: х > .

от параметра.

Теорема 1. Для того чтобы оба корня
квадратного трёхчлена были меньше, чем
число М, (то есть лежали на числовой оси
левее, чем точка М), необходимо и достаточно
выполнение следующих условий:

или

трёхчлена был меньше, чем число М,
а другой больше, чем М (то есть точка М
лежала бы между корнями), необходимо и
достаточно выполнить следующих условий:

или

Эти две системы можно заменить формулой
а ·ƒ(М) < 0.

квадратного
трёхчлена были больше, чем число М
(т. е. лежали на числовой оси правее, чем
точка М), необходимо и достаточно
выполнить следующие условия:

или

корня квадратного
трёхчлена были меньше, чем число М, но
больше числа N, то есть лежали в
интервале между М и N, необходимо и
достаточно выполнить следующих
условий:

или

корень
квадратного трёхчлена лежал в интервале
между М и N, необходимо и достаточно
выполнение следующих условий:

или


При этом меньший корень лежит в отрезке MN.

квадратного трёхчлена лежал в интервале
между М и N, необходимо и достаточно
выполнить следующих условий:

или

из корней
квадратного трёхчлена был меньше, чем
число М, а другое больше, чем N, то есть
отрезок MN лежал внутри интервала между
корнями, необходимо и достаточно
выполнение следующих условий:

или

значений ƒ(М), ƒ(N), расположение
вершины параболы (а все остальное
записывается по графической
иллюстрации).

параметра с, при которых оба корня
квадратного уравнения
x² + 4cx + (1 – 2с + 4с²) = 0 различны
и меньше, чем -1.
Решение.
Нашему заданию соответствует следующая
графическая иллюстрация.

(1 – 2с + 4с²)
представляет собой параболу, ветви которой
направлены вверх.
По условию эта парабола должна пересекать ось
х, причём отрезок [ х1 ; х2] должен быть левее -1.
Следовательно, значение функции при х = -1
должно быть положительным, а вершина – быть
расположена левее -1. Итак, получаем систему:

Ответ: c > 1.

Пример 2. При каких действительных значениях k оба корня (в том числе и кратных) уравнения (1 + k)х² - 3kx + 4k =0 больше 1?
Решение. Условию задачи соответствуют следующие графические иллюстрации:

(в том числе и кратных) уравнения
(1 + k)х² - 3kx + 4k =0 больше 1?
Решение. Условию задачи соответствуют следующие графические иллюстрации:

Ответ:

k < - 1.

совокупность систем
равносильна системе

что облегчает решение задачи.
В следующем примере воспользуемся этой системой.

x²- (α + 1)x + 2 = 0 будут различны и
оба по модулю меньше 1?
Решение. Условия задачи соответствуют следующие графические иллюстрации:

вершина находится между числами -1 и 1. Поэтому вместо двух систем запишем одну.

Решим её:

Отсюда, α > 3 + 2

Ответ : α > 3 + 2

корней
уравнения (k² + k +1)x² + (2k - 3)x + k -5=0
больше 1, а другой меньше 1?
Решение.
Так как k² + k + 1 > 0 при любых k, то по условию задачи предстает следующая
графическая иллюстрация,
которая соответствует
неравенству ƒ(1) < 0:

+ k – 5 < 0,
k² + 4k - 7 < 0, .

Ответ: при .

x² + αx + 1 > 0.
Решение.
Так как старший коэффициент перед x
не равен нулю, то данное неравенство
при любых значениях α является
квадратным.
Найдём корни трёхчлена ƒ(х) = х² +αх +1.
D=α²-4. Если D ≥ 0, то α ≤ -2 и а ≥ 2, то
решением неравенства будет:

α < 2, то неравенство
справедливо при любых действительных
значениях х.
Ответ: при α ≤ -2 и а ≥ 2



х – любое число.

интервалов