Слайд 2Введение
Работа «модуль» предназначена для повышения эффективности подготовки учащихся
10-11 классов к итоговой аттестации (ЕГЭ) по алгебре и началам анализа за курс полной средней школы и предусматривает их подготовку к дальнейшему математическому образованию.
Результаты ЕГЭ показывают, что у большинства выпускников школ
по теме «Модуль» пробелы в знаниях. У этого явления вполне объяснимые причины, главные из которых:
понятие модуля изучается в 6 классе, причем вводится только через координатную прямую;
определение модуля не отрабатывается на конкретных заданиях на протяжении курса математики и алгебры 6 – 8 классов, встречается только в теме «Арифметический корень» (8класс).
Задачи на применения определения модуля встречаются во многих темах , поэтому не воспринимается учащимися, как отдельная математическая модель.
Слайд 3Цель работы:
На основе коррекции базовых математических знаний учащихся за
курс 6 – 11 классов совершенствовать математическую культуру и творческие способности учащихся.
Слайд 4З а д а ч и
Акцентировать внимание учащихся на единых требованиях
к правилам оформления различных видов заданий с модулем, включаемых в ЕГЭ.
Научить наглядно представлять процессы, происходящие в заданиях.
Экономить учебное время на оформлении условия и записи пояснений к решению.
Без затруднения применять определение модуля действительного числа.
Уметь пользоваться свойствами модульных неравенств и применять нужное свойство к конкретному условию.
Слайд 5Определение модуля.
Свойства модульных
неравенств
Слайд 61. Модулем (абсолютной величиной) действительного числа α называется само это число,
если α≥0, и противоположное число – α, если α<0. Модуль α обозначается |α|. Итак,
α, если α≥0,
|α| =
(-1)∙α, если α<0.
2. Геометрически |α| означает расстояние на координатной прямой от точки, изображающей число α, до начала отсчета.
3. Модуль нуля равен нулю.
4. Если α≠0, то на координатной прямой существуют две точки α и -α, равноудаленные от нуля, модули которых равны.
-α 0 α
Слайд 7Свойства модульных неравенств
α < β
|. |α|< β ;
α > -β
α > β
||. |α|>β ;
α < -β
β > 0 β > 0
|||. |α|< β или ;
< (α-β)(α+β) < 0
β≥0 β≥0
> (α-β)(α+β)>0
IV. |α|>β β<0 или β<0 ;
α α
V. |α|>|β| > ;
VI. |α|>|β| < .
Слайд 9Применение определения модуля и свойств модульных неравенств при решении задач
Слайд 10Иррациональные выражения с модулем
1
при
2. при х=
3. при
4. при
5. при
6. при
7. при
8. при
Слайд 11Функции с модулем
Найдите сумму всех целых чисел, входящих в
область определения функции:
Построить график функции:
Слайд 12Практикум по решению модульных неравенств
1. 8.
2. 9.
3. 10.
4. 11.
5. 12.
6. 13.
7.
Слайд 13Решение иррациональных выражений с модулем
Пример 1:
Представим подкоренное выражение
в виде полного квадрата. В данном случае это возможно:
в условии выражения можно преобразовать следующим образом:
Учитывая, что
и потому получаем:
Ответ: 4.
Слайд 14Решение иррациональных выражений с модулем
Пример 2
Преобразуем подкоренные выражения:
Слайд 15Решение иррациональных выражений с модулем
Пример 3:
Представим выражение в
виде,
или
Выражение, стоящее под первым знаком, больше 0 при всех допустимых . При значение больше 4, поэтому . Значит и второй знак модуля можно опустить.
Получим: при
Ответ: 4
Слайд 16Решение иррациональных уравнений с модулями
Пример 4:
Представим выражение в виде:
Слайд 17Функции с модулем
Пример 1.
Решение:
; ;
Слайд 18Функции с модулем
Пример 2
Решение:
Преобразуем неравенство и применим свойство:
Слайд 19Функции с модулем
Пример 3
Решение:
Преобразуем неравенство и применим свойство:
Слайд 20Построение графиков функции
Пример 1. Построить график функции
Решение. Перепишем функцию в
таком виде:
, так как .
Если , то функция примет вид:
Если , то функция примет вид:
функция примет вид:
Если , то функция примет вид:
На каждом интервале функция является линейной, график строим по двум точкам.
Слайд 22Построение графиков функций
Пример 2. Построить график функции
Решение:
Функция определена
на всей числовой прямой. Графиком является ломаная линия с вершинами в точках, абсциссы которых х = 0, х = 1, а ординаты у(0) = 1, у(1) = 2. Возьмем еще две дополнительные точки
(-1;2), (2;5). Далее строим график функции.
Слайд 23Решение практикума модульных неравенств
Рассмотрим на примерах, как используются свойства:
1
2
Слайд 24Решение практикума модульных неравенств
Рассмотрим на примерах, как используются свойства:
3
Вначале используем
I свойство
а затем I и II свойства
Слайд 25Решение практикума модульных неравенств
Рассмотрим на примерах, как используются свойства:
3
-7 -1
X
-5 -3
X
-7 -5 -3 -1
X
Слайд 26Решение практикума модульных неравенств
Рассмотрим на примерах, как используются свойства:
4
Сначала используем
II свойство
Используем свойства I и II
Слайд 27Решение практикума модульных неравенств
4
Слайд 28Решение практикума модульных неравенств
Рассмотрим на примерах, как используются свойства:
5
Слайд 29Решение практикума модульных неравенств
5
1 2
2 3
1 2 3
Слайд 30Решение практикума модульных неравенств
Рассмотрим на примерах, как используются свойства:
6
Слайд 31Решение практикума модульных неравенств
Рассмотрим на примерах, как используются свойства:
6 неравенство можно
решить иначе.
так как обе части неравенства неотрицательны, можно возвести их в квадрат, не нарушая равносильности.
Слайд 32Решение практикума модульных неравенств
7.
-10 -3
-3 -1,6
Ответ:
Слайд 33Решение практикума модульных неравенств
8.
Ответ:
Слайд 34Решение практикума модульных неравенств
9.
По определению:
сократим на
Слайд 36Решение практикума модульных неравенств
Слайд 37Б)второй способ решения – используем I свойство модульных неравенств
Слайд 38Б)второй способ решения – используем I свойство модульных неравенств
Слайд 39Решение практикума модульных неравенств
1 1.а)
Так как ; получаем
Слайд 40Решение практикума модульных неравенств
11 а).
Слайд 41Решение практикума модульных неравенств
Слайд 42Решение практикума модульных неравенств
12.
Найдем корни модулей:
Для решения такого неравенства рассмотрим его
на каждом интервале отдельно. Корни модулей разбивают числовую ось на интервалы. Учитывая значения подмодульных выражений, раскроем значения модулей на каждом интервале.
А)
Слайд 43Решение практикума модульных неравенств
12.
Б)
Слайд 44Решение практикума модульных неравенств
12.
В)
Ответ:
Слайд 45Решение практикума модульных неравенств
12 г)
Объединяя все решения, имеем
Слайд 47Решение практикума модульных неравенств
13 б)