Презентация, доклад по математике на тему Решение уравнений

уравнений

 Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение Самарской области основная общеобразовательная школа с.Краснояриха муниципального района Челно-Вершинский Самарской области

Краснояриха 2017 г.

«Математика... выявляет порядок, симметрию и определенность, а это – важнейшие виды прекрасного.» Аристотель

базового и повышенного уровней (№4 из 1-ой части и №21 из 2-ой части) основного государственного экзамена по математике.

Цель: обобщение и систематизация имеющихся сведений об уравнениях и методах их решения.

равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. "Ищется куча, которая вместе с двумя третями ее, половиной и одной седьмой составляет 37...", - поучал во II тысячелетии до новой эры египетский писец Ахмес. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.

приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: "Смотри!", "Делай так!", "Ты правильно нашел". В этом смысле исключением является "Арифметика" греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.
Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово "аль-джебр" из арабского названия этого трактата – "Китаб аль-джебер валь-мукабала" ("Книга о восстановлении и противопоставлении") – со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово "алгебра", а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.

Переменные в уравнениях принято обозначать с помощью маленьких латинских букв, например, p, t, u и т.п., но наиболее часто используются буквы x, y и z.
Например, уравнение x+3=6·x+7 – уравнение с переменной x, а 3·z−1+z=0 – уравнение с переменной z

Корень уравнения – это такое значение буквы (переменной), при подстановке которого уравнение обращается в верное числовое равенство.
Отметим, что корень уравнения с одной переменной также называют решением уравнения. Другими словами, решение уравнения и корень уравнения – это одно и то же.

ax+b=0,
где a и b – некоторые действительные числа.
Линейное уравнение всегда имеет единственный корень: x=-b/а.
Алгоритм решения линейного уравнения:
Раскрыть скобки в уравнении если они есть;
Слагаемые, содержащие переменную, перенести в левую часть уравнения, а числа – в его правую часть, не забывая при переносе менять знаки на противоположные;
Привести подобные слагаемые в левой и правой частях уравнения;
Разделить число в правой части уравнения на коэффициент при переменной.

действительные числа, называется квадратным уравнением.
Если  a=1, то квадратное уравнение называется приведенным. Выражение b2 - 4ac  называется дискриминантом 
квадратного уравнения и обозначается D.
При этом: если D > 0, то уравнение имеет два различных корня:


если D = 0, то уравнение имеет один корень: x=-b/2a
если D < 0, то уравнение корней не имеет.

и х+5=0
х=5 и х=-5
Ответ: х=-5;5

2. Когда с=0 квадратное уравнение принимает вид ax2+bx=0 и решается вынесением общего множителя за скобки
7х2-14х=0
7х⋅(х-2)=0
х=0 или х-2=0
х=2
Ответ: х=0;2

некоторые действительные числа, называется биквадратным уравнением. Решается методом замены переменной y=x2 и уравнение сводится к квадратному уравнению ay2+by2+c=0 с последующим решением двух уравнений x2=y1 и x2=y2 (y1 и y2 корни соответствующего квадратного уравнения). 1. Если y1>0 и y2 >0, то биквадратное уравнение имеет четыре корня.
2. Если y1>0 и y2 <0 (или y1<0 и y2 >0), то
биквадратное уравнение имеет два корня.
3. Если y1 < 0 и y2 <0, то биквадратное уравнение не имеет корней.

заданное уравнение можно переписать в виде
у2+у-20=0.
Это – квадратное уравнение, корни которого найдем, используя известные формулы: у1=4, у2=-5.
Но у=х2, значит, задача свелась к решению двух уравнений: х2=4; х2=-5.
Из первого уравнения находим: х1,2=±2; второе уравнение не имеет корней.
Ответ: х1,2=±2.

знаком квадратного корня.
Например
Основной метод решения иррациональных уравнений – метод возведения в квадрат обеих частей уравнения. Метод возведения в квадрат технически несложен, но иногда приводит к появлению посторонних корней (корни при которых выражение под знаком корня получается отрицательным). Такие корни нужно отбрасывать, так как выражение под корнем всегда должно быть неотрицательным. Поэтому все найденные корни иррационального уравнения надо проверить подстановкой в исходное уравнение, поскольку среди них могут оказаться посторонние корни.

квадратного трехчлена по 2й теореме Виета (задание №21 из ОГЭ)

х3+5х2-х-5=0
(х3+5х2)+(-х-5)=0
х2⋅(х+5)-1⋅(х+5)=0
(х+5)⋅(х2-1)=0
(х+5)⋅(х-1)⋅(х+1)=0
х+5=0; х-1=0; х+1=0
х=-5 х=1 х=-1

(х-1)⋅(х2+6х+9)=5⋅(х+3)
(х-1)⋅(х+3)2=5⋅(х+3)
(х-1)⋅(х+3)2-5⋅(х+3)=0
(х+3)⋅((х-1)⋅(х+3)-5)=0
(х+3)⋅(х⋅х+3⋅х-1⋅х-1⋅3-5)=0
(х+3)⋅(х2+2х-8)=0
По 2й теореме Виета:
(х2+2х-8)=(х-2)⋅(х+4)
(х+3)⋅(х-2)⋅(х+4)=0
х=-3 х=2 х=-4

трехчлена по 2й теореме Виета (задание №21 из ОГЭ)