Презентация, доклад по математике на тему Дифференциальные уравнения

функцию y, и её производные до (n)-ого порядка включительно.

Определение: Наивысший порядок производной, входящий в уравнение называется порядком уравнения.

, которая, будучи подставленная в уравнение (1), обращает его в тождество, называется решением этого уравнения.

Определение: Решить уравнение – значит, найти все его решения в заданной области.

, которое содержит столько независимых постоянных, каков порядок этого уравнения.
Если общее решение задано в неявном виде , то оно называется общим интегралом дифференциального уравнения.

решение дифференциального уравнения, которое получается из общего решения, если производным постоянным, в него входящим придать определенные значения, называется частным решением этого дифференциального уравнения.

называется уравнение .
В простом случае y’=f(x,y).

Дифференциальные уравнения первого порядка

называется функция , обладающая следующими свойствами:
1) Она является решением данного уравнения при любых значениях производной постоянной C, принадлежащих некоторому множеству.
2) Для любого начального условия y( )= такого,
что ,существует единственное значение C= , при котором решение удовлетворяет заданному начальному условию.

, получающееся из общего решения , при конкретном C= называется частным решением.

Определение задачи Коши: Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию у( )= , называется задачей Коши.

Определение: Общее решение , построенное на плоскости графика, называется интегральной кривой.

, C - const(любая).
Однако встречаются дифференциальные уравнения, имеющие также решения, которые не получаются из общего ни при каких значениях C (в том числе и при ). Такие решения называются особыми. Графиком особого решения является интегральная кривая, которая в каждой своей точке имеет общую касательную с одной из интегральных кривых, определяемых общим решением. Такая кривая называется огибающей семейства интегральных кривых.

общего метода решения дифференциального уравнения первого порядка.

виде , и т.к.

, то уравнение примет вид:

Переменные x и y равноправны.

Уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными, если :

+ ∫ = 0 - общий

интеграл уравнения,

выраженный в новой форме.

функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
Определение: Если a(x)≠0,то уравнение
называется приведенным линейным уравнением первого порядка.

то линейное уравнение называется неоднородным.
y’+p(x)y=f(x)

Определение: Если ,то уравнение y’+p(x)y=0 называется однородным и является относительно и y уравнением с разделяющимися
переменными.

и ,
т.е.

Найдем одну функцию такую, чтобы
;

– любая, (≠0),так как только

должно удовлетворять уравнению.

…,в уравнение

называется уравнением Бернулли.
Метод решения: используем метод решения дифференциального уравнения первого порядка.

Варьируем произвольную постоянную.
Пусть . Найдем функцию из условия, что является решением
неоднородного дифференциального уравнения.

Уравнение Бернулли

Алгоритм решения.
Рассмотрим соответствующее однородное уравнение
. Найдем его решение. Это уравнение с разделяющимися переменными.

Метод вариации произвольной постоянной. Метод Лагранжа.

.

Определение: Уравнение вида
называется однородным, если P и Q однородные функции одного измерения.

Однородные дифференциальные уравнения

уравнению первого порядка с разделёнными переменными. С помощью подставим
где , ( ).

только тогда, когда f(x,y) есть однородная функция нулевого измерения.

функция непрерывна в некоторой области D плоскости Oxy и имеет в этой области ограниченную частную производную , то для любой точки в некотором интервале существует притом единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию.

Геометрически это означает, что через каждую точку M области D проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения .

Теорема Коши.

называется особыми точками дифференциального уравнения.

Определение: Решение (интегральная кривая) уравнения
, в каждой точке которого нарушается единственность решения задачи Коши, называется особым решением (особой интегральной кривой) этого уравнения.
Особое решение не может быть получено из общего, ни при каких значениях (включая ).

исключения, если это возможно, параметра
из системы уравнений.

или

- общий интеграл

- общее решение дифференциального уравнения

.

Определение: Задачей Коши для
дифференциальных уравнений:
называется задача отыскания решения y=y(x), удовлетворяющего заданным начальным ????? условиям y(x0)=y0, y’(x0)=y0’,…,y(n-1)(x0)=y0(n-1).

, которая при любых допустимых значениях параметров , является решением дифференциального уравнения и для любой задачи Коши с условиями y(x0)=x0, y ‘(x0)=y0’,…, y(n-1)(x0)=y0(n-1) найдутся постоянные ?????
определяемые из системы уравнений.

таково, что функция в некоторой области D своих аргументов непрерывна и имеет непрерывные частные производные ,


то для любой точки
принадлежащий D существует такой интервал
, на котором существует и притом единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию.