Презентация, доклад по математике на тему

учитель математики
Кудрявцева Наталья Николаевна.

области значений функции

Цель

котором каждому числу a из множества X сопоставляется по некоторому правилу число b, зависящее от a.
С каждой функцией связано множество{f(x)}; x є X . Его называют областью значений (или множеством значений) функции f и обозначают E (f).

Определение функции

числа арифметических действий и композиций из следующих основных элементарных функций:
многочлен,
рациональная,
степенная,
показательная и логарифмическая,
тригонометрические и обратные тригонометрические.

Элементарные функции

(f) = R, где R – множество всех действительных чисел.
Примером таких функций служат
- линейная функция;
- функция вида y = ;
- функции вида y = tg x и y = ctg x;
- логарифмическая функция;
- нечётные функции, заданные многочленом.

= R
2) y (-x) = -x + x – x = -(x – x +x) = -y (x),
значит функция - нечётная, тогда
E (y) = R.
Ответ: E (y) = R.

) = (0;+ ∞)
Е(sin x)=[ -1;1]
Е(cos x)=[ -1;1]
Е(arсsin x)= [-п/2 ; п/2 ]
Е(arсcos x)=[0; п ]
Е(arсtg)=(- п/2 ; п/2 )
Е(arсctg)= (0; п ).

Множества значений отдельных ограниченных функций

a].
2. Если E (f) = [a; b], где а < 0, b > 0 и /a/ < b ,то
E (/f/) = [0; b].
3. Если E (f) = [a; b], где а < 0, b > 0 и /a/ > b, то
E (/f/) = [0; /a/].
4. Если E (f) = [a; b], где a, b < 0, то E (/f/) = [/b/; /a/].
5. Если E (f) = [a; b], где a, b > 0, то E (/f/) = [a; b].
6. Если E (f) = [0; a], где a > 0, то E (/f/) = [0; a].
7 . Если E (f) = [a; 0], где а < 0, то E (/f/) = [0; /a/].
8. Если E (f) = [a; b], то E (-f) = [-b; -a].

Множество значений функций, содержащих модуль

f (x) =

Решение:
-1 ≤ sin( х - п/3 ) ≤ 1,
-3 ≤ 3sin( x- п/3 ) ≤ 3,
1 ≤ 3sin(x - п/3 ) + 4 ≤ 7,
1 ≤ / 3sin(x - п/3 ) + 4 / ≤ 7.
Ответ: [1; 7].

линейной функцией.
Её график – гипербола.
Из области значений этой функции необходимо исключить некое у, которое ставится в соответствие значению х, обращающему знаменатель в нуль.

Множество значений дробно-линейной функции

Область определения данной функции . Для нахождения области изменения удобно данную функцию записать в таком виде:

Дробь принимает в области определения функции всевозможные значения, кроме нуля. Следовательно, областью изменения данной функции является множество всех действительных чисел, кроме, .
Второй способ. Решают данное уравнение функции относительно Х. Получают . Откуда следует, что Y может быть любым действительным числом, кроме 2.

параметром

Применение
производной

Функционально-
графически

Метод оценки

[-2;2]
Имеет , а


При этом f(x)=2 только
для х=-1, а g(x)=2
только
для х=0. Значит, что
уравнение не
имеет решений.
Ответ: нет решений.

множества значений функции:
Y=f(x)+b график Y=f(x) сдвигается на b ед. вдоль оси Oy вверх. (соответственно изменяется множество значений функции)
Y=f(x) –b график Y=f(x) сдвигается на b ед. вдоль
Оси Oy вниз.
Y= kf(x) график Y=f(x) растягивается в к раз от оси Ox, если |к|>1 и сжимается в к раз, если 0<|к|<1.

x и
Y= 0,5sin x.

значений аргумента, затем, используя свойства неравенств, отыскивают соответствующие наименьше и наибольшее значения функции функции. Если есть возможность путем тождественных преобразований получить функцию, которая на всей области определения или на заранее заданном множестве является непрерывной и либо только возрастающей либо только убывающей, тогда используя свойства неравенств оценивают множество значений  вновь полученной функции.

Метод оценки

[-2;+∞)
Ответ:E(y)=[-2;+∞)

В данной задаче. при оценке выражений, учитывали свойство монотонности логарифмической
функции

>0 и 0

7cos x.
Преобразуем выражение 3sinx + 7cos x.
3sinx + 7cos x = ( sinx + cosx).
Так как < 1 и <1. Найдется такое число что cos = и sin = .

Тогда 3sinx + 7cosx = (cos sinx + sin cosx)  =
= sin( + x).
Мы знаем, что -1 sinx 1, значит
- sin( + x) .
Множество значений функции y = 3sinx + 7cos x является множество [- ; ]

Выясним, при каких значениях a данное уравнение имеет корни.


если a=0,то получаем x=-1;
если

Уравнение будет иметь корни, если D




или


   
 Объединяем ответы и получаем, что , таким образом множеством значений функции будет
числовой промежуток

Ответ:

Метод сведения задачи к исследованию уравнения с параметром

+

----

+

-1/2

0

1/10

π].
Решение: D(y) = R.
1) найдем производную данной функции
2) y' = 2cosx - 2 sin2x = 2cosx - 4sinxcosx =
2cosx(1 - 2sinx)
3) Область определения производной R.
4) Найдем ее критические точки.
Отрезку [0; π] принадлежат три критические точки:
x1 = , x2= , x3 = .
Вычисляем значение функции на концах промежутка и в критических
точках: y(0) = 1, y( ) = 1, y( ) = 1,5, y( ) = 1,5.
Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке[0; ] равно 1, а наибольшее значение функции на этом же отрезке равно 1,5.
Ответ: Е(у) = [1; 1,5].
 

Применение производной

и . Найдем множество значений функций: . Следовательно, уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда обе части уравнения равны нулю одновременно:



Ответ: 2

Уравнения

[-1;1].
Для каждого х [-1;1] имеем
0 , а для каждого
такого х имеем, что
>1. Значит, для
каждого х [-1;1] имеем
< Следовательно,
решениями неравенства
< будут все х
из промежутка [-1;1].
Ответ: х [-1;1].

Неравенства

а для каждого значения параметра а.
Решение: Функция у = log5(arcctg x) — убывает и непрерывна на R и принимает значения меньше log5 π.
Ответ: если а < log5 π, то уравнение имеет единственный корень;
если а ≥ log5 π, то корней нет.

четырнадцать. Найдите наибольшее значение такого
произведения.
Решение: требуется найти наибольшее значение функции f(x)=x (x+14)
при целых значениях аргумента, меньших 5.
f’(x)=(x +14x )’=3x +28x=x(3x+28)
Критические точки: х1=- , х2=0.
Точка максимума расположена между целыми числами -10 и – 9.Сравним
значения функции в этих точках: f(-10)=100 4=400; f(-9)=81 5=405.
Если х <-10, то f(x) Если -9положительной полуоси функция возрастает, следовательно, при 0 х 4
выполняется неравенство f(x) f(4)=16 18=288. Значит, наибольшего
значения при целых числах x<5 эта функция достигает в точке х=-9.
Ответ: 405.

Текстовые задачи

этого прямоугольника.
Решение: Пусть х см- длина прямоугольника, см – ширина
прямоугольника. Найдем наименьшее значение функции




Х=-5 – не удовлетворяет условию задачи.



Х=5 – точка минимума,
Ответ: 20 см

функция, тогда y= y
x0=2,
t(2)=3.
С учетом области определения логарифмической функции переменная
изменяется:



При минимальном значении t = 3 значение функции y(3)=log33=1 - минимальное,
т.к. при t 1функция y= монотонно возрастает. Следовательно:
1 <+ ,
1 <+ .
Ответ:[1; + ).

Множество значений сложной функции