Презентация, доклад по математике Математические софизмы и парадоксы

СОФИЗМЫ
И ПАРАДОКСЫ

 Выполнила: учащаяся 11 класса
Кутинова Юлия
Руководитель: учитель математики
Мирионкова Людмила Николаевна

рассуждение обосновывающее какую-нибудь нелепость, абсурд. Софизм основан на преднамеренном нарушении логики. Каким бы не был софизм он всегда содержит одну или несколько ошибок.

интеллектуальным мошенничеством, а важным двигателем человеческой мысли. Показать практическое применение, их актуальность и в наше время.
Задачи: рассмотреть математические, алгебраические, геометрические софизмы с точки зрения их важности для изучения математики.
Найти ошибки в представленных софизмах.
Показать софизмы из жизни и современной практики.
Рассмотреть парадоксы и выяснить чем они отличаются от софизмов.

(Древняя Греция, V—IV вв. до новой эры), которая их обосновывала и оправдывала. Однако софизмы существовали задолго до философов-софистов, а наиболее известные и интересные были сформулированы позднее в сложившихся под влиянием Сократа философских школах. Термин «софизм» впервые ввел Аристотель, охарактеризовавший софистику как мнимую, а не действительную мудрость. К софизмам им были отнесены и апории Зенона, направленные против движения и множественности вещей, и рассуждения собственно софистов, и все те софизмы, которые открывались в других философских школах. Это говорит о том, что софизмы не были изобретением одних софистов, а являлись скорее чем-то обычным для многих школ античной философии.

кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. История математики полна неожиданных и интересных софизмов, разрешение которых порой служило толчком к новым открытиям.
Математические софизмы приучают быть внимательными при решении задач, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью чертежей, за законностью математических операций.
Очень часто понимание ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом, помогает развивать логику и навыки правильного мышления.

числах, в первую очередь о натуральных (целых положительных) числах и (рациональных) дробях, и действиях над ними.
Так что же такое арифметические софизмы?
Арифметические софизмы – это числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, не заметную с первого взгляда.

4 : 4 = 5 : 5
Вынеся за скобки общие множители, получим:
4 • (1:1) = 5 • (1: 1)
Так как 1: 1 = 1, то имеем
4 • 1 = 5 • 1, а значит 4 = 5 , но 4 = 2 × 2
Значит 2 × 2 =5
В чем ошибка?

= 5, можно всего лишь доказать, что 4 = 5
Начнём с равенства: 16-36 = 25-45
Прибавим к обеим частям 20,25, получим:
16-36+20,25=25-45+20,25
Заметим, что в обеих частях равенства стоит квадрат разности:
4² - 2 • 4 • 4,5 + 4,5²=5 ² - 2 • 5 • 4,5 + 4,5
Получим: (4 - 4,5)²=(5 - 4,5)²
Извлекаем корень из обеих частей равенства, получим: 4 - 4,5 = 5 - 4,5
Значит 4=5.
В чем ошибка?

= 42 + 12 – 54.
Вынесем общие множители левой и правой частей за скобки. Получим:
5 (7 + 2 – 9) = 6 (7 + 2 – 9).
Разделим обе части этого равенства на общий множитель (заключённый в скобки).
Получаем 5 = 6.
В чём ошибка?

Выпили кофе. Официант принес им счет на 30 рублей. Подруги заплатили по 10 рублей и вышли.
Однако хозяин кафе почему-то решил, что поданный на этот столик кофе стоит 25 рублей, и велел вернуть посетительницам 5 рублей.
Официант взял деньги и побежал догонять подруг, но пока бежал, подумал, что им будет трудно делить на троих 5 рублей, и поэтому решил отдать им по 1 рублю, а два рубля оставить себе. Так и сделал.
Что же получилось? Подруги заплатили по 9 рублей.
9 × 3 = 27 рублей, да два рубля осталось у официанта.
А где еще 1 рубль?

арифметикой и геометрией к числу старейших ветвей этой науки. Алгебра возникла под влиянием нужд общественной практики, в результате поисков общих приёмов для решения однотипных арифметических задач. Приёмы эти заключаются обычно в составлении и решении уравнений.
То есть алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и выражениях с переменными.

a ² – a ² = a ² – a ²
В левой части вынесем общий множитель за скобки, а в правой воспользуемся формулой разность квадратов:
a (a – a) = (a + a )( a – a )
Поделим на общий множитель (a – a );
Получим a = a + a
a = 2 a.

получим: 1=0
Это равенство неверное, следовательно исходное уравнение не имеет корней.
В чем ошибка?

Сделаем это подстановкой у из второго уравнения в первое.
Получаем х + 8 – х = 6, откуда
8=6
Где же ошибка?

нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, связанное с геометрическими фигурами и действиями над ними.

из 4 частей. После перестановки частей при визуальном сохранении изначальных пропорций появляется дополнительная, не занятая ни одной частью, клетка. Откуда она берется?

диаметру”

В произвольной окружности проводим диаметр АВ и хорду АС. Через середину D этой хорды и точку В проводим хорду BE. Соединив точки С и Е, получаем два треугольника ABD и CDE. Углы ВАС и СЕВ равны как вписанные в одну и ту же окружность, опирающиеся на одну и ту же дугу; углы ADB и CDE равны как вертикальные; стороны AD и CD равны по построению. Отсюда заключаем, что треугольники ABD и CDE равны (по стороне и двум углам).
Но соответствующие стороны равных треугольников равны АВ=СЕ
получается, что диаметр окружности оказывается равным некоторой (не проходящей через центр окружности) хорде, что противоречит утверждению о том, что диаметр больше всякой не проходящей через центр окружности хорды.

чертеж.
Опора на ошибочные умозаключения.

софизмом их различает то, что парадокс - не преднамеренно полученный противоречивый результат. Таким образом, парадокс не ошибка.  
Математический парадокс – высказывание, которое в данной теории равным образом может быть доказано и как истинна, и как ложь. Парадокс — это рассуждение, доказывающее как истинность, так и ложность некоторого суждения, иными словами, доказывающее как это суждение, так и его отрицание.

и здравого смысла. Казалось бы, парадокс - и парадокс себе, и стоит ли сильно по его поводу переживать. Однако некая легенда гласит, что древнегреческий философ Кронос, не в силах разрешить его, от огорчения умер.

в одном элементе». Возьмем некоторую кучу, например, орехов. Теперь начнем брать из нее по ореху. 50 орехов - куча, 49 орехов - куча, 48 - куча и т.д. Так дойдем до одного ореха, который тоже составит кучу.

лжец. Отсюда, критяне не лгуны, т.е. правдивы. Значит, все критяне лжецы.

офицер имел несчастье попасться в плен к пруссакам, и его по подозрению в шпионаже было решено под суд и судить по законам военного времени, которые, как известно, карают за шпионаж смертной казнью. Когда подсудимому вынесли смертный приговор и несчастный, выслушав его, уже готов был, покорится своей участи, судьям пришло в голову оказать осужденному снисхождение, правда, несколько странного свойства.
- Вам, молодой человек, - сказали они офицеру, - предлагается в виде особой милости самому выбрать род казни: или смерть через повешенье, или расстрел. Для этого мы предлагаем вам произнести какую-нибудь фразу, заключающую в себе или явную ложь или явную правду. При этом заметьте, что за сказанную вами правду вы будете повешены, а за неправду вас расстреляют.
Все это было, конечно, очень жестоко, немилосердно, но странное дело! По мере того как молодой человек слушал бесстрастную речь своих судей, его бледное умное лицо прояснилось все более и более, и, наконец, после некоторого размышления он медленно произнес: «Меня расстреляют».

получается не сразу. Требуются определенный навык и смекалка. Развитая логика мышления может пригодиться в жизни. Софистика-это целая наука, а именно математические софизмы - это лишь часть одного большого течения. Исследовать софизмы действительно очень интересно и необычно. Порой в них рассуждения кажутся безукоризненными!

Благодаря софизмам и парадоксам можно научиться искать ошибки в рассуждениях других, научится грамотно строить свои рассуждения и логические объяснения.

Д.А. Мадера. Москва «Просвещение» 2003.
2. «Математическая шкатулка». Автор: Ф.Ф. Нагибин. Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР 1961.
3.  «Математика после уроков». Пособие для учителей. Авторы: М.Б.Балк, Г.Д.Балк. Москва «Просвещение», 1971.
4. «В царстве смекалки». Автор: Е. И. Игнатьев. 1984.