Презентация, доклад по математике Логические задачи

рассуждать, чтобы наше мышление было определенным, связным, последовательным, доказательным и непротиворечивым. Как человек, не знакомый с правилами арифметики и грамматики, не может правильно считать и грамотно писать, так и человек, не знающий правил логики, не может без ошибок рассуждать и действовать.


Особенно много приходится рассуждать в математике. Человеку, занимающемуся математикой, приходится определять понятия, выяснять связи между ними, рассматривать, какие группы, числа, уравнения можно составить. Но особенно часто в математике приходится путем рассуждений выводить разнообразные формулы, числовые закономерности, правила, доказывать теоремы.

успешного изучения математики надо настойчиво учиться правильно рассуждать. Само изучение математики очень полезно для овладения правилами и законами мышления.
Решение всякой математической задачи – это цепь рассуждений. Вычисления, которые приходится использовать, невозможны без логических рассуждений.
Логические задачи отличаются от большинства математических задач тем, для их решения нужна, в основном, сообразительность, а не запас каких-то специальных знаний.
Интересно отметить, что решение задач чисто логического типа в известной мере моделирует решение научной проблемы. Ведь сначала исследователь сталкивается с массой более или менее разобщенных данных. Иногда он не может сразу же сделать какие-то определенные заключения. Обычно ему приходится выдвигать рабочую гипотезу, чтобы довести свои поиски до решения проблемы.
Правильность гипотез, выдвинутых в ходе исследований, устанавливается путем сопоставления полученных результатов с исходными данными. Если на этом этапе работы вскрывается несоответствие теоретических выводов фактам, исследователь отвергает гипотезу, принятую вначале, заменяет ее другой и начинает рассуждение заново. В конце концов он приходит к такому заключению, которое безукоризненно согласуется с начальными условиями.
Итак, выдвигая гипотезы и последовательно рассуждая, формулируя выводы и исследуя их совместимость с исходными данными, исследователь в конце концов получает определенный точный ответ, отталкиваясь от разрозненной, казалось бы, информации, которой он располагал вначале.
Примерно то же самое происходит и в процессе решения логических задач.

Однажды Андрей, Борис, Володя, Даша и Галя договорились вечером пойти в кино. Выбор кинотеатра и сеанса они решили согласовать по телефону. Было решено, что если с кем-то созвониться не удастся, то поход в кино отменяется. Вечером у кинотеатра собрались не все, и поэтому посещение кино сорвалось. На следующий день стали выяснять, кто кому звонил. Оказалось, что Андрей звонил Борису и Володе, Володя звонил Борису и Даше, Борис звонил Андрею и Даше, Даша звонила Андрею и Володе, Галя звонила Андрею, Володе и Борису.
Кто из ребят не пришел в кино?
Решение.
Нарисуем пять точек и обозначим их буквами А, Б, В, Г, Д.

Это первые буквы имен. Затем нужно соединить те точки, которые соответствуют именам созвонившихся ребят. Например, Андрей созвонился с Борисом и Володей, поэтому проведем отрезки АБ и АВ. После того, как нарисуем все такие отрезки, получится рисунок, который вы видите. Из рисунка видно, что каждый из трех ребят – Андрей, Борис и Володя – созвонился со всеми остальными. Поэтому эти ребята и пришли к кинотеатру. А Галя и Даша не сумели созвониться между собой (точки Г и Д не соединены отрезком) и поэтому в соответствии с договоренностью в кино не пошли.

в забеге заяц,
А второй была лиса!
- Нет, - твердит другая белка, -
Ты мне шутки эти брось.
Заяц был вторым, конечно,
Первым был, я помню, - лось!
-Я, - промолвил филин важный, -
В спор чужой не стану лезть.
Но у вас в словах у каждой
По одной ошибке есть.
Белки фыркнули сердито.
Неприятно стало им
Вы уж взвесив все, решите,
Кто был первым, кто вторым

Решение. Предположим, что в словах первой белки истинная первая часть, то есть первым был заяц, лось – вторым. Тогда оба высказывания второй белки ложны. Значит, второй была лиса, а лось был первым.

чердаке
Бог Правды, лжец и Дипломат,
Все – с лотосом в руке.
Бог Правды, лотосом клянясь,
Лишь истину твердит.
Бог Лжи, нимало не смутясь,
Неправду говорит.
А Дипломат дает ответ
По прихоти своей -
То правду говорит, то – нет,
Но всякий раз «ей-ей».
Пришел в тот храм мудрей Рашид
И к первому: - Привет!
С тобою рядом кто стоит?
- Бог Правды! – был ответ.
- Теперь скажи мне о себе, -

Второго он спросил
- Я – Дипломат, служу судьбе, -
Второй проговорил.
Шагает к третьему Рашид
( Рашид был стар и сед).
- Мой бог, сомненье разреши,
Скажи, кто твой сосед?
- О, досточтимейший мудрец,
Не бей напрасно ног.
Могу сказать: он страшный лжец, -
Ответил третий бог.
Теперь, читатель, разбери –
Узнать я был бы рад:
Кто Лжец, кто правду говорит
И кто же – Дипломат?

Решение. Предположим, что первый бог сказал правду. Тогда второй бог должен это подтвердить, но он этого не сделал, значит, третий – бог Правды. Следовательно, он сказал правду и рядом с ним второй бог – бог Лжи, а первый – бог Дипломатии

разных городах: Москве, Ленинграде, Туле, Киеве, Риге и Одессе. Фамилии их: Агеев, Боков, Власов, Громов, Дубов и Елисеев.
Известно, что:
Агеев и москвич – врачи;
Дубов и ленинградец – учителя;
Власов и туляк – инженеры;
Боков и Елисеев – участники войны, туляк не был в армии;
рижанин старше Агеева; одессит старше Власова;
Боков и москвич сошли в Киеве; Власов и рижанин должны сойти в Виннице.
Определить фамилию, профессию и место жительства каждого пассажира.

Решение. Составим таблицу:

Решаем задачу методом исключения. По горизонтали:
у москвича согласно условиям (1) и (6) зачеркнем А и Б,
у ленинградца на основании (2) – Д,
у туляка согласно (3) и (4) – В, Б, Е;
у рижанина – А, В на основании (5),(6);
у одессита – В согласно (5).
Согласно (1) А – врач;
зачеркнем А у учителя и инженера, аналогично,
Д – у врача и инженера;
В – у врача и учителя
По вертикали:
1) – киевлянин – Власов и согласно (3) он – инженер;
в горизонтали киевлянина можно зачеркнуть все буквы, кроме В.
Теперь А не зачеркнута у одессита. Одессит Агеев и на основании (1) он врач, в его строке зачеркнем все фамилии, кроме А.
Продолжая дальше, получим: рижанин Дубов, он же – учитель.
Туляк Громов – инженер; ленинградец Боков – учитель, москвич Елисеев – врач
Ответ: киевлянин Власов – инженер,
одессит Агеев – врач,
рижанин Дубов – учитель,
туляк Громов – инженер,
ленинградец Боков – учитель,
москвич Елисеев – врач

Задача.
В поезде

человек: Андреев, Борисов, Иванов, Петров и Сидоров. Профессии у них были разные: маляр, плотник, штукатур, каменщик и электрик.
Петров и Иванов никогда не держали в руке малярной кисти
Петров и Борисов живут в одном доме со штукатуром
Андреев и Петров подарили электрику красивую вазу
Борисов и Петров помогали плотнику строить гараж
Борисов и Сидоров по субботам встречаются у электрика
Штукатур по воскресениям приходит в гости к Андрееву
У кого какая профессия?

Решение
Нарисуем следующую таблицу

Из первого условия видно, что Петров и Иванов не маляры.
Значит, в столбце «Маляр» против этих фамилий ставим прочерк. Из второго условия следует, что Петров и Борисов не штукатуры. Значит, в столбце «Штукатур» против этих фамилий тоже ставим прочерк. Аналогично, ставим прочерки, соответствующие всем остальным условиям. Теперь видно, что в столбце «Электрик» есть только одна свободная клетка. Значит, электрик – это Иванов. В соответствующей клетке ставим плюс. Но поскольку Иванов электрик, то все остальные специальности ему не подходят, и поэтому в строке «Иванов» мы везде (кроме клетки с плюсом) ставим прочерк. Не трудно заметить, что в строке» Петров» есть тоже одна свободная клетка. Значит, Петров – каменщик. В соответствующей клетке ставим плюс и в столбце «Каменщик» прочеркиваем все остальные клетки
После этого в строке «Борисов» окажется только одна свободная клетка. Значит, Борисов – маляр. Ставим плюс в этой клетке и прочеркиваем все остальные клетки столбца «Маляр».
Поступая аналогичным образом, узнаем, что Андреев – плотник, а Сидоров – штукатур.

человек, по географии – 30, по математике – 25 человек. Среди те, у кого пятерка по истории, 8 школьников имеют пятерку по географии и 7 по математике, а среди имеющих пятерку по географии у 6 – пятерка и по математике. Трое имеют пятерки по всем этим предметам.
Сколько школьников не имеют пятерок ни по одному из этих предметов?
Решение
Рассмотрим четыре множества: множество всех семиклассников; множество семиклассников, имеющих пятерку по истории – И, по географии – Г, по математике – М.
Пятерки по всем трем предметам имеют три школьника, значит, пересечение множеств И, Г, М состоит из трех семиклассников. По истории и географии одновременно имеют пятерки 8 человек, а 3 из них имеют пятерку еще и по математике. Следовательно, только по истории и географии имеют пятерку
8 – 3 = 5. Аналогично получаем, что только по истории и математике пятерки у 7 – 3 = 4 человек, а только по географии и математике у 6 – 3 = 3.
Определим теперь, сколько человек имеют пятерку только по одному из этих предметов. По истории пятерки у 28 семиклассников, но у 5 + 3 + 4 = 12
У них есть еще другие пятерки, следовательно, только по истории пятерки у 16 человек. Аналогично получаем, что только по географии пятерки у 19 человек, а только по математике – у 15.
По условию задачи у нас всего 102 семиклассника. 16+19+15+4+5+3+3=65
из них имеют пятерки хотя бы по одному из этих предметов, следовательно, 37 человек не имеют пятерок ни по одному из них.
Ответ: 37 семиклассников не имеют пятерок ни по одному из этих предметов

Задача.

кляксу.
«Кто испачкал скатерть?» - спросила бабушка.
«Витя не ставил кляксу», - сказал Алеша. – «Это сделал Боря»
«Ну, а ты что скажешь?» - спросила бабушка Борю
«Это Витя поставил кляксу», - сказал Боря, - «А Алеша не пачкал скатерть»
«Так я и знала, что вы друг на друг на дружку сваливать будете», - рассердилась бабушка. – «Ну, а каков твой ответ?» - спросила она Витю.
«Не сердись, бабуля! Я знаю, что Боря не мог это сделать. А я сегодня не готовил уроки», - сказал Витя.
Оказалось, что двое мальчиков в каждом из двух своих заявлений сказали правду, а один мальчик оба раза сказал неправду.
Кто поставил на скатерть кляксу?

Решение.
Решим задачу рассуждениями, предварительно заполнив таблицу











Проверим три возможные версии:
кляксу поставил Алеша;
Кляксу поставил Боря;
кляксу поставил Витя.
Занесем значения истинности в таблицу последовательно для всех случаев.
Ответ: кляксу поставил Витя

Задача 1. Клякса на скатерти