Презентация, доклад по математике Геометрия масс

масс

и…изложить особый метод, при помощи которого ты получишь возможность находить некоторые математические теоремы. Я уверен, что этот метод будет ничуть не менее полезен и для доказательства самих теорем».

Архимед
(III в. до н.э )

и притом единственный.

.Центр масс двух материальных точек расположен на отрезке, соединяющем эти точки, его положение определяется архимедовым правилом рычага (или, как его еще называют, «золотым правилом механики»):













произведение массы материальной точки на расстояние от нее до центра масс одинаково для обеих, т.е. m1d1= m2d2, где m1, m2 – массы материальных точек, а d1,d2 – соответствующие плечи, т.е. расстояния от материальных точек до центра масс.
Если в системе, состоящей из конечного числа материальных точек, отменить несколько материальных точек и массы всех отмеченных точек перенести в их центр масс, то от этого положение центра масс всей системы не изменится.

характера.
Осмыслить свойства центров масс материальных точек.
Показать практическое применение и сравнить и сравнить с традиционным методом решения геометрических задач.
По итогам работы сделать презентацию.

каждая из медиан делится этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины.

Докажем, что медианы пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины.
2)Обозначим буквой О точку пересечения медиан АF и ВT треугольника.
3)Так как отрезок TF – средняя линия треугольника АВС, то TF //АВ, а значит, ﮮ1=ﮮ2 и ﮮ3=ﮮ4. отсюда следует, что треугольник АОВ подобен треугольнику FОТ по двум углам.
4)Из подобия треугольников АОВ и FОТ следует, что АО = BO = АВ
ОF ТO FT
Так как отрезок TF – средняя линия, то АВ = 2:1.
FT
Таким образом, АО = ВО =2:1.
FT ТО
Следовательно. Точка О пересечения медиан АF и BT делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины.
5)Аналогично доказывается, что точка О1 пересечения медиан ВТ и СD делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины, а значит, она совпадает с точкой О. Таким образом, все три медианы треугольника АВС пересекаются в точке О и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины.
Теорема доказана.

В, С равными массами,- скажем, по 1 грамму. Получающаяся система трех материальных точек 1А, 1В, 1С имеет однозначно определенный центр масс Z (свойство 1).










В силу свойства 3 положение центра масс не изменится, если массы материальных точек 1В и 1С мы перенесем в их центр масс, т.е. (согласно свойству 2) в точку А1. Но тогда Z окажется центром масс лишь двух материальных точек 2А1 и 1А. Значит, Z є AA1.аналогично убедимся, что Z є ВВ1 и Z є СС1. Таким образом, все три медианы имеют общую точку Z. Кроме того, по правилу рычага (свойство 2) имеем 2ZA1=1ZA или ZA:ZA1=2:1

В.Г. Болтянский «Геометрия масс» М «Наука», Библиотечка «Квант», выпуск 61, 1987 год , с. 4 −23.
Метод проб при доказательстве различными способами.
Практический метод обобщения и систематизации, направленный на получении конечного результата.
Умение анализировать , систематизировать и обобщать.

KA = 2:3,
CN : NB = 4:3,
AN ∩ BK=O
Найти: ОК
ВО
Решение:
4 ∙ ВО= 5∙ ОК
ОК = 4
ВО 5

о

∩ CN=O,AN:NB=2:3,
CM:MB=2:1,S∆ABC=5
Найти: SNBMO
Решение: S∆АМВ =5 ,
3
S∆AON = AO ∙AN = 1∙2 = 1
S∆MAB AM ∙AB 2∙ 5 5
3 ∙ AO=3 ∙ OM, AO=OM,
S∆AON = 1 ,
3
SNBMO =5 − 1 = 4
3 3 3

методом мы загружаем отдельные точки массами с т.е. сопоставляем, приписываем этим точкам определенные положительные числа. Затем привлекаем свойства центров масс всех полученных м.т. или части этих м.т. Искусство применения барицентрического метода состоит в том, чтобы по условию задачи осуществить такой выбор точек и помещаемых в эти точки масс, при котором задача легко и красиво решается. Три основных свойства центров масс особенно важны при решении задач:
Наличие и единственность центра масс у любой системы материальных точек.
Принадлежность центра масс двух материальных точек отрезку, соединяющему эти точки.
Возможность перегруппировки материальных точек системы без изменения положения центра масс всей системы.

доказывать используя барицентрический метод.
В работе размещены задачи, которые были предложены при подготовке к Централизованному тестированию и на Централизованном тестировании.
Этот материал может быть изложен на спецкурсе по математике и при подготовке к тестированию.