Презентация, доклад по истории математики на тему 8-сынып математикасында тарихи деректерді қолдану

ПЕДАГОГИКАЛЫҚ УНИВЕРСИТЕТІ



2015 жыл

Математика кафедрасы

Дипломдық жұмыс

курс (5 жылдық) студенті Ф.А.Жумаева
Ғылыми жетекшісі : аға оқытушы З.М.Төлеуханова

Тұңғыш математикалық ұғымдардың тууы және қалыптасуы..........................................28
1.3. Натурал көрсеткішті дәреже, дәрежелерді көбейту және бөлу..........................................34
1.4. Бөлшектер тарихынан............................................................................................................36
1.5. Франсуа Виет символикасы...................................................................................................40

ІІ. 8 СЫНЫП АЛГЕБРАСЫНДА ТАРИХИ ДЕРЕКТЕРДІ ҚОЛДАНУ
 
2.1. Алгебра сөзінің тегі...............................................................................................................44
2.2. И.Ньютон алгебра тілі туралы және «Жалпылама арифметикасы».................................45
2.3. Теңдеулер жөніндегі ілім және екі белгісізі бар бірінші дәрежелі
теңдеулер жүйесі..........................................................................................................................48
2.4. Алгебра саласына куб теңдеулердің қосылуы................................................................. ..57
2.5. Үшінші және төртінші дәрежелі теңдеулердің алгебралық шешуі...................................61
2.6 .Координаталар әдістері және графиктер туралы................................................................67
ҚОРЫТЫНДЫ............................................................................................................................71
 
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР.....................................................................................72

Ньютон
Жұмыстың мақсаты:
Мектеп математикасында тарихи деректерді оқып үйрену барысында оқушыларға негізгі математикалық ұғымдардың қалыптасуы мен даму кезеңдерін меңгерту.
Жұмыстың міндеті:
-математикалық ұғымдардың қалыптасуын зерделеу;
-алгебра пәнін оқытуда тарихи деректерді қолдану жолдарын анықтау;
-мектеп математикасында оқытылатын математиктердің өмірі және шығармашылығымен таныстыру

А. Н. Колмогоровтың таратуы бойынша математика тарихын шартты түрде төрт дәуірге бөлуге болады.

Бірінші дәуір – математиканың тууы, математикалық білім-дағдылардың, мағлұматтардың жиналу және қорлану дәуірі.
Екінші дәуір – элементарлық математика дәуірі – біздің заманымызға дейінгі VI-V ғасырлардан басталып біздің заманымыздың XVI ғасырымен аяқталады.
Үшінші дәуір – айнымалы шамалар математикасының туу дәуірі. Бұл кезеңде математиканың негізгі нысанасы, объектісі – процестерді, қозғалыстарды зерттеп білу. Бұл дәуір XVII ғасырдағы Декарт, Лейбниц, Ньютонның ашқан математикалық жаңалықтарынан басталып XIX ғасырдың бірінші жартысын қамтиды.
Төртінші дәуір – қазіргі математика дәуірі. Бұл XIX ғасырдың бірінші жартысында ұлы математиктер Н.И.Лобачевский, Э.Галуа ашқан математикалық жетістіктерден басталады.

Ғылым тарихы математикалық тұрғыдан талдауды талап етеді, себебі:
-оның ұғымдары мен проблемаларын, өмірмен байланысын, ғылыми
көзқарасын тиянақтауға және жалпылауға ұмтылдырады;
-математика тарихы жалпы тарих бөлігі болып табылады, ол
адамзаттың оны дамытуға мәжбүр болып, нәтижесін қолданғаны туралы әңгімелейді;
-математика тарихы жалпы адамзат мәдениетінің бір бөлігі болып табылады.

тілінен аударғанда “матема”- “білім, ғылым” деген мағыналы сөзден қалыптасқан. Сына және иероглиф жазбалардың анықтауына қарағанда математикалық ғылымның таралған аймақтары Ежелгі мысыр (Египет), Вавилон (Бабыл) батыс Азиядағы Қосөзеннің (Месопатамияның) орта және төменгі ағысындағы аймақ (қазіргі Ирак мемлекетінің аумағы), соңынан Ежелгі Грекияда ерекше дамыған.
Гректердің теориялық ғылымының негізі – Мысыр және Бабыл елдерінде жинақталған ғылым-білім бастамалары мен дәстүрлері
Гректер сандарды таңбалау үшін цифлар қолданбай, әріптерді қолданды. Мәселен, былай:
 

сандарды кескіндеуге болады. Мыңды белгілеу үшін алдынан үтір қойып бірліктер сияқты белгілесе, 10000 былай белгілейді М.
Мысалы, 87563+3491+46556 сандар қосындысын гректер келесідей орындады:
87563
3491
46556
_______________
137610 .

– көне мысырлықтар өзіндік жолмен жүргізді. Осы екі амалдар негізінде екі еселеу мен екіге бөліну амалдары жатыр.
Мысалы, 213-ті 37-ге көбейту керек болсын.
/1 213
2 426
/4 852
8 1704
16 3408
/32 6816
барлығы 7881 .
Кейде 10 санының қасиеттерін пайдалану арқылы есептеді.
Мысалы, 80-ді 14-ке көбейтуді мысырлық есептеуші келесідей орындай алды:
 
1 80
/10 800
2 160
/4 320
барлығы 1120 .

үшін римдіктер ұзын көбейту кестелерін пайдаланды, мұнда нақты шекке дейінгі екі сандар көбейткіштер болды. Мұндай кестелерді олар, әрине, жаттамады, бірақ қолдарында ұстап жүрді, римдіктер күрделі әрі қиын көбейтулерді тең есептеді.
Жазбалы түрде кесте түрлі формаларда келтіріледі. Олардың ішінде ең көп таралғаны – Пифагор кестесі. Бірақ үшбұрыш фигурасы да бар.
1
2 4
3 6 9
4 8 12 16
5 10 15 20 25
6 12 18 24 30 36
7 14 21 28 35 42 49
8 16 24 32 40 48 56 64
9 18 27 36 45 54 63 72 81

мына түрде келтіреді:

– сан ұғымы. Сан – математика ғылымының іргесі. Кронекер «бүтін сандарды құдай жасады, қалған дүниені адам жасады», - деген. Торрес бұғазының батыс жағалауын мекендейтін кейбір австралиялық жабайы тайпалар адамның дене мүшелері арқылы 33-ке дейінгі санды өрнектей алады екен. Егер саналатын заттар 33-тен асып кетсе, олар таяқшаларды пайдаланады:1-ді урапун, 2-ні оказа, 3-ті оказа – урапун, 4 – оказа-оказа, 5 – оказа-оказа – урапун, 6 – оказа-оказа-оказа деп санаған, одан артық сандарды «көп», «сан жетпес» дейді екен.«Сан және фигура ұғымдары, - деп жазды Энгельс, - басқа ешқайдан емес, тек шындық дүниеден алынған.
Қазіргі заманда жер жүзіндегі барлық мәдениетті халықтардың қолданатын санау жүйесі – ондық жүйе.Ондық жүйе – ұзақ тарихи дамудың нәтижесі,мұндай жүйені тудырған бүкіл адамзаттың ісі.
Ертедегі Бабылдық астрономдар санау негізі үшін алпыстық жүйені қолданған. Сағаттың және бұрыштық градустың алпыс минутқа бөлінуі де осымен байланысты.

дамымаған болар еді. Жалпы алғанда, арнаулы таңбасыз, формуласыз математика ғылымының болуы да мүмкін емес.
Алгебра – математиканың аса маңызды тарауларының бірі, ол ғылымда, техникада, практикалық өмірде кездесетін күрделі есептерді шығаруға көмектеседі. Арифметикада шәкірттер тек төрт амалды ғана қарастырады: қосу, азайту, көбейту, бөлу.
Алгебра Ежелгі Үндістанда, ал IX-XV ғасырларда ислам елдерінде, олардың ішінде Орта Азияда ерекше өркендеп дамыды. IX ғасырдың бірінші жартысында Мұхаммед ибн Мұса әл-Хорезми араб тілінде кітап жазып, оны алғы сөзде «Әл-жебр және уә-л-мукабала есептеуі жөніндегі шағын кітап» деп атаған. Осы кітаптың атауындағы «әл-жебр», яғни алгебралық әдістердің біреуінің атауы болып табылатын сөзден біздің «алгебра» деген сөзіміз шыққан. Әл-Хорезми алгебраны арифметикадан ажыратып, оны математиканың дербес бір бұтағы ретінде тұңғыш қарастырған ғылым болды.

сандарды қосу амалы көбейту амалына келтіретіні;бір санды өзіне-өзін бірнеше рет көбейту дәрежелеу деп аталады. Өзара тең бірнеше көбейткіштің көбейтіндісін табу амалы дәрежелеу деп аталады.
Әрқайсысы а – ға тең n көбейткіштің көбейтіндісі а-ның n дәрежесі деп аталады да, деп жазылады. а саны дәреженің негізі деп, ал негіздің қандай дәрежеге шығарылатынын көрсететін саны дәреже көрсеткіші деп аталады. Кез келген а санының 1 дәрежесі сол санның өзіне тең:
теріс санды жұп дәрежеге шығарғанда оң сан, ал тақ дәрежеге шығарғанда теріс сан шығатынын көруге болады, яғни – оң сан, – теріс сан.

2)Негіздері бірдей дәрежелерді бөлу.
.
Мұндағы және мен -натурал сандар .
болғанда
, осыдан шығады,мұндағы
3) Дәрежені дәрежеге шығару.

4) Көбейтіндіні дәрежеге шығару.

5) Бөліндіні дәрежеге шығару.

жазушы Цицерон бір сөзінде: «Бөлшекті білмейінше арифметиканы білемін деп ешкім де айта алмайды!» – деген екен.
Бөлшекті санның бөлігі ретінде, бірлік үлестерінің қандай да бір мөлшері ретінде түсініп ұғыну сонау Ежелгі Мысыр папирустарында, бабылдықтардың саз-балшық таблицаларында кездеседі. Өлшеуіштің меншікті атауы болды, нақтылы бөлшектер : Ежелгі Римде «унция», Русьте «осьмина» т. б.
Мысырда қабырғасы 100 «шынтаққа» тең квадрат ауданды өлшеу бірлігі ретінде пайдаланылған, оны «сетат» деп атаған. Оның ширегі «сынық» деп аталған.
Петербург Ғылым академиясының мүшесі ұлы математик Эйлердің өзінің «Универсал арифметикасында» баяндаған пікірінше 1/2 ұғымы қаншалықты заңды болса, 7/3 ұғымы да соншалықты заңды, алайда ол бүтін сан болмағанмен,біз оны бөлшектер, немесе сынық сандар, деп аталатын сандар деп түсінеміз.
Бөлшек сызығын және жай бөлшектің осы күнгі жазылуын алғаш рет үнемі қолданып отырған орта ғасырдағы европалық ғалым – итальян математигі Пизандық Леонардо, оны Фибоначчи деп те атаған. Оның «Абак кітабында» «плюс» және «минус» терминдері, 2, 3, 4 сандарына бөлгіштік белгілері, 97-ге дейінгі жай сандар таблицасы, сондай-ақ «сынық сан» деген сөздің орнына «бөлшек» деген сөз алғаш рет кездеседі.
Бөлшек тарихында жаңа кезеңнің бастамасы ондық бөлшектер болып табылады

Қайта өрлеу заманы математиксының ең биік шоқтығы – Франсуа
Виеттің математикалық еңбектері.Тригонометрияны зерттеген.
1570ж. «Математикалық канон» д.а. трактаты жарық көреді.
Виет математикасының ең негізгі жетістігі – алгебра саласын ашуы.
Жаңа алгебраның жалпы идеялары мен негізгі принциптерін Виет «Аналитикалық өнерге кіріспе» атты еңбегінде баяндайды. Мақсаты – бұрынғы алгебраны қуатты математикалық есептеу құралына айналдыру.
Виет өзінің алгебрасында тек белгісіздер үшін ғана емес кез келген, яғни айнымалы шамалар үшін де таңбалар енгізеді. «Коэффициент» деген сөзді енгізген. Виеттің символикасында «+» және «» таңбалары кездеседі, көбейтінді in деген сөзбен беріледі. Дәрежені көрсету үшін тиісті әріпке quadratum, cubus т.б. сөздерді тіркестіреді. Шығармалары: «Теңдеулерді кемелдендіру» , «Геометрияға қосымша», «Математикалық әртүрлі сұрақтарға жауап кітабы»,т.б.
Виеттің математика тарихындағы тағы бір үлкен жетістігі – оның алғашқы рет шексіз көбейтінділерді қарастыруы. Ол мұндай көбейтіндіні санын таза аналитикалық түрде кескіндеуге, өрнектеуге пайдаланған.

Мұхаммед әл-Хорезми еңбектерінің арифметика мен алгебра тарихында үлкен мәні бар. Әл-Хорезмидің IX ғасырдың басында жазған «Кітап әл жебр уә-л-мукабала» дейтін алгебралық трактаты алгебраға арналған дүние жүзіндегі бірінші төл шығарма болды. Әл-Хорезми теңдеулерді шешу үшін екі әдіс қолданады: а) әл-жебр («қалпына келтіру»), яғни азайтқыш (теріс) мүшелерді теңдеудің бір бөлігінен екінші бөлігіне көшіру. б) әл-мукабала («қарсы қою») – теңдеудің екі бөлігінен де бірдей мүшелерді шығарып тастау, ұқсас мүшелерді біріктіру.
«Алгебра» атауы әл-Хорезми кітабының атауынан алынған.
Алгебра (арабша әл-жебр）－математиканың теңдеулерді шешу жөніндегі есептерге байланысты дамыған негізгі бөлімдерінің бірі. Омар Хайям (1038/48-1123/24）— 3-ші дәрежелі теңдеулерді зерттеуді жүйелеп, өзінің «Алгебрасын» жазған.
XVII-ғасырдың ортасында қазіргі алгебрада қолданылатын таңбалар, әріптер толық орнықты. Ал XVII-ғасырдың басында алгебра математиканың жеке бөлімі ретінде қалыптасты. XVII-XVIIIғасырларда теңдеулердің жалпы теориясы (көпмүшеліктер алгебрасы, т. б) қарқындап дамыды. Оған сол кездегі ірі ғалымдар — Рене Декарт, Исаак Ньютон, Жан Даламбер мен Жозеф Лагранж үлкен үлес қосты. Неміс математигі Карл Гаусс кез-келген n дәрежелі алгебралық теңдеудің нақты не жорамал n түбірі болатындығын анықтаған (1799). XIX-шы ғасырдың басында норвег математигі Нильс Абель және француз математигі Эварист Галуа дәрежесі 4 тен жоғары болатын теңдеулердің шешуін алгебралық амалдар көмегімен теңдеудің коэффиценті арқылы өрнектеуге болмайтындығын дәлелдеген.

Теңдеулер орта мектеп математикасының бағдарламасының негізгі бөлімі. Бұл теңдеу орта мектеп математикасының әр түрлі саласында қолданбалы есептерді шешуге кең түрде қолданылатындығымен түсіндіріледі. Теңдеу тарихы ерте замандағы математикамен тығыз байланысты.
Теңдеу алгебралық ұғым ретінде өзінің пайда балуы жөнінен негізгі үш бөлікке бөлінеді:
1. теңдеу мазмұнды есептер шешу құралы;
2. теңдеу алгебралық объектіні үйретуге қызмет ететін ерекше формуланың ролін атқарады;
3. теңдеу формула ретінде қосымша санды немесе өзінің шешімі болатын нүктенің координатасын анықтайды.
Теңдеудің пайда болу облысы және теңдеу ұғымының алгебрадағы атқаратын міндетіне сәйкес мектеп математикасындағы теңдеулер мен теңдеулер жүйелерін үш бағытқа бөлеміз:
А) Қолданбалы бағыт. Теңдеулер мен олардың жүйелерін мазмұнды есептерді шешуге қолдану.
Қазіргі математиканың басқа тарауларда қолданылуы көбінесе математикалық модельдеуге байланысты. Осы ұғымды пайдаланып теңдеулер мен олардың жүйелері математикалық модельдеудегі негізгі құрал ретінде анықталады.
Б) Теңдеуді үйренудегі теориялық- математикалық бағыт екі аспектіден тұрады:
1. аса маңызды теңдеулер және олардың жүйелерінің класын оқу,
2. бір бағытқа жататын жалпыланған ұғымдармен әдістерді бүтіндей үйрену.
В) Теңдеуді шешуді үйрену математикасының басқа тарауларымен байланысын орнату арқылы сипатталады.

жәрдемімен шығару тәсілдерінен туған. Теңдеулер жөніндегі ілім бүгінге дейін алгебраның мектептік курсының негізгі мазмұны болып табылады. Бірақ теңдеулерді шешу үшін бірмүшелерге, көпмүшелерге және алгебралық бөлшектерге амалдар қолдана білу керек, көпмүшелерді жіктей білуді, жақшаларды ашуды, бөлшектерді ортақ бөлімге келтіруді т.с.с. білу керек. Егер де тарихқа үңілетін болсақ, практикалық есептерді шығарудың алгебралық әдістерінің бастамасы ежелгі ғылым әлемімен байланысты. Сол кездің өзінде де теңдеулер құруды талап ететін есептер пайда бола бастады. Осы теңдеулер арқылы шығарылатын тарихи есептерді қарастырамыз.
№1.Үш адам 24000 ливрға үй сатып алғысы келді. Олар былай келісті: біріншісі жарты ақшасын береді; екіншісі үштен бірін береді, ал үшіншісі қалған бөлігін береді. Әрқайсысы қанша бермек?
Шешуі:
I-ші:
II-ші: III-ші: Жауабы:4000; 8000; 12000

барады, олар ға бір қаз қарсы ұшып келе жатып: «Жүз қазға бір сәлем!» - депті. Топ қаз оған былай деп жауап беріпті: «Жоқ біз жүз емес піз! Егер бізге тағы осынша қосылса, тағысоның жартысындай, тағы соның ширегіндей, оның үстіне сен қазым бізге қосылсаң, біз тура жүз қаз боламыз» Олар қанша болған еді?
Шешуі:қаз саны – х








Жауабы: 36 қаз.
«Тоғыз кітаптағы математика» деген қытай трактатының VII-VIII кітаптарында теңдеулер жүйелері қарастырылған және оларды шешуге арналған қысқаша ережелер берілген, сонда мұның бәрі сөзбен түсіндіріліп баяндалған. Теңдеулер жүйесінің коэффициенттері кесте түрінде есеп тақтасына орналастырылатын болған. Тақтада амалдар қайталағанда теңдеулер системасын шешу үшін коэффициенттерге үнемі бір ғана ережені қолдану керек болатындығы байқалған. VII кітап «Артық - кемдік» деп аталған

Координаталар идеясы – ерте туған идея. Координаталардың алғашқы қолданылуы астрономиямен, географиямен байланысты, календар, жұлдыздық және географиялық карталар жасағанда аспан шыраұтарының және Жер бетіндегі белгілі бір пункттердің орнын анықтау ісімен байланысты. Атақты ежелгі грек астрономы Клавдий Птоломейдің өзі географиялық координаталар ретінде бойлық пен ендікті пайдаланған болатын. Тік бұрышты координаталар тәсілінің квадрат тор түрінде қолданылғандығының ізі Ежелгі Мысырдағы жерлеу камералардың бірінің қабырғасынан анықталды. Өркендеу дәуірінің суретшілері де тік бұрышты тормен пайдаланған.

Координаталар әдісінің жалпы математикалық мәнін тұңғыш рет
анықтаған ғалымдар XVII ғасырдағы француз математиктері
П.Ферма мен Р.Декарт.
Координаталар әдісін Декарт 1637 жылы тұңғыш рет өзінің
«Геометриясында» жариялады. «Декарттық координаталар жүйесі»,
«Декарт координаталары» деген атаулар да осыдан шыққан.
Координаталар әдісінің табылуы математиканың, жекелеп айтқанда, геометрияның одан әрі өркендеп дамуында орасан зор роль атқарды.
Айнымалы шама ұғымын математикаға алғаш енгізген ғалым Рене Декарт, ол 1637 ж. басылып шығарылған «Геометрия» деген атақты шығармасында осы ұғымды пайдаланды. Бұл – алгебра көмегімен баяндалған жаңа геометрия еді. Қазіргі уақытта бұл геометрияны «аналитикалық геометрия» деп атайды. Декарт координаталар әдісін баяндағанда, қандай да бір сызық сызатын нүктенің абсциссасы х-тің өзгеруімен байланысты сол нүктенің ординатасы у-тің қалай өзгеретіндігін қарастырады.

күнделікті адам өміріндегі мәні орасан зор. 4000 жыл бұрынғы уақыттың өзінде-ақ бабылдықтар мен мысырлықтар жер өлшеу, құрылыс және әскери істерінің әртүрлі есептерін теңдеулер құрып шығарған. Математиканы үйренуд басқа пәндермен, атап айтқанда тарих пен ұштастыра отырып оқу математиканың мектептегі курсын тереңірек ұғынып, игеруге көп әсерін тигізеді. Ескілікті тарихи есептерд іқазіргі тәсілдермен шығара отырып, болашақта математикалық білімімді жетілдіре беруді алға койған мақсатым деп есептеймін.
Математика тарихы математиканың мың жылдар бойы қалай дамығанын көрсетеді. Ол адамдардың қалай санап үйренгенін және арифметика әдісінің біртіндеп қалай оянғанын айтады. Ол адамзаттың ақыл-парасатының ұлы табыстарының бірі – орынды санау жүйесі пайда болғанша қандай азапты жолдан өткенін оқытады. Математика мұғалімі математиканы оқытудың жалпы заңдылықтарын, әдістемелік зерттеулерді, оқытудың әртүрлі әдіс-тәсілдерін, есептер шығаруда қолдана білуді қажет етеді.
Республика мектептеріндегі оқыту тәжірибесі көрсетіп отырғандай қандай да бір ғылымның тарихымен оқушыларды таныстыру, оларды адамгершілікке және елжандылыққа тәрбиелеуге үлкен мүмкіндік туғызады.
Өткен дәуірдің ғұлама ойшылдардың өмір жолдары мен олардың ғылымға қосқан үлесімен және адамгершілік қасиеттерімен оқушыларды таныстырып, олардың өзін-өзі тәрбиеленуіне, жетілуіне елеулі әсер етеді.
Мектеп математикасында тарихи деректерді оқып үйрену барысында оқушыларға негізгі математикалық ұғымдардың қалыптасуы мен даму кезеңдерін меңгерте отырып, тарихи деректерді кеңінен қолдану арқылы оқушыларды ғылыми жұмыстармен шұғылдануға үйретеді.

Жантелі Х., Шарипов Т. Математика: Мектептегі математика курсының негізі
Көбесов А. Математика тарихы: Алматы «Қазақ университеті», 1993.
Баймұханов Б., Базаров Қ., Медеуов Е. – Алматы: Атамұра, 2003.
Ю.А.Закарин Абель, Галуа, Лобачевский, Эйнштейн: Математика ғалымдарының өмірі мен ғылыми еңбектері. Алматы: Қазақстан, 1968.
К.Нурсултанов. Очерк истории матемтических знаний в Казахстане и вопросы использования ее материалов в педагогическом процессе.
О.А.Жәутіков «Орыс математикасының атақты ғалымдары» Қазақ мемлекеттік баспасы. Алматы 1956.
Кубесов А. «Математическое наследие Аль-Фараби». Алматы. Наука 1974г.
Рыбников К.А. История математики с древнейших времен до начала XIXстолетия. М., 1970-1972.
Юшкевич А.П. История математики с древнейших времен до начала XIXстолетия. М., Наука 1970-1972.
Исқақов М.Ө. Математиканы оқытудың кейбір мәселелері.
– «Қазақстан мектебі»: 1972.
Прудников В.Е. русские педагоги-математики XVIII-XIXвеков. М., 1956.