Преподаватель математики
Осипова Людмила Евгеньевна
Mila139139 @ yandex.ru
Тема 1.2.
Системы линейных алгебраических уравнений.
Раздел 1. Элементы линейной алгебры.
Лекция № 11
УРОК ТРИННАДЦАТЫЙ
- Главная
- Разное
- Образование
- Спорт
- Естествознание
- Природоведение
- Религиоведение
- Французский язык
- Черчение
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, фоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
Презентация, доклад по дисциплине Элементы высшей математики на тему: Метод решения систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы - урок 13-ый. Рекомендовано для выпускников СПО.
Содержание
- 1. Презентация по дисциплине Элементы высшей математики на тему: Метод решения систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы - урок 13-ый. Рекомендовано для выпускников СПО.
- 2. Система линейных уравненийа11x1 + а12x2 + ...
- 3. Систему линейных уравнений
- 4. Вывод основной формулы1) Предположим, что rang(A)
- 5. Способ решения А Х = В( 2
- 6. Рассмотрим пример 1Задание.Найти решение системыс помощью обратной
- 7. А = -11ΔA11 A21 A12
- 8. Х = А В-13) Найдём решение
- 9. Рассмотрим пример 2Задание.Найти решение системыс помощью обратной
- 10. А = -11ΔA11 A21
- 11. 5) Найдём алгебраические дополнения для основной матрицы
- 12. 7) Найдём неизвестную матрицу Х, которая является
- 13. Рассмотрим пример 3Задание.Найти решение системыс помощью обратной
- 14. А = -11ΔA11 A21
- 15. 5) Найдём алгебраические дополнения для основной матрицы
- 16. 7) Найдём неизвестную матрицу Х, которая является
- 17. Итак, для этого метода нужно:Найти и посчитать
- 18. Основные источникиЛунгу К.Н. Сборник задач по высшей
Система линейных уравненийа11x1 + а12x2 + ... + а1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2………………………………..am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bmСистема из m линейных уравнений с n неизвестными имеет
Слайд 1Метод решения систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы
ГБОУ СПО МО
«ЛПТ»
Преподаватель математики
Осипова Людмила Евгеньевна
Mila139139 @ yandex.ru
Преподаватель математики
Осипова Людмила Евгеньевна
Mila139139 @ yandex.ru
Слайд 2Система линейных уравнений
а11x1 + а12x2 + ... + а1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2
………………………………..
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm
Система из m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид:
Числа а11 , а12 , ... , а mn - это коэффициенты системы
Числа b1, b2 ,…, bm – свободные члены системы
Переменные х1, х2 ,…, хm - неизвестные, значения
которых надо найти
( 1 )
Слайд 3
Систему линейных уравнений очень удобно
записывать в матричном виде
АХ = В
А – основная матрица системы,
Х – матрица-столбец неизвестных,
В – матрица-столбец свободных членов.
1
А =
а11 а12 ... a1n
a21 a22 … a2n
.....................
am1 am2 … amn
X =
X1
X2
….
Xn
B =
b1
b2
….
bm
( 2 )
Слайд 4Вывод основной формулы
1) Предположим, что rang(A) = rang(A|B) = n,
т.е. система имеет решение, причем единственное.
основная матрица системы А – невырожденная, т.е. главный определитель Δ ≠ 0 .
Для невырожденной матрицы А есть обратная А
-1
2) Умножив уравнение на А и помня, что А А = Е определитель, которой Δ = 1:
-1
-1
А Х = В Α
-1
A ⋅ A⋅ X = A ⋅ B
-1
-1
Е = 1
Χ = Α Β
-1
( 3 )
2
Слайд 5Способ решения
А Х = В
( 2 )
Х = А
В
( 3 )
-1
Пусть дана система линейных алгебраических уравнений
в матричном виде (2) с невырожденной квадратной матрицей А.
Отсюда получаем решение системы (3), где А - обратная матрица
-1
( 4 )
А =
-1
1
detА
A11 A21 A31 ….A n1
A12 A22 A32…. An2
…………………..
An1 An2 An3 …. Ann
Слайд 6Рассмотрим пример 1
Задание.
Найти решение системы
с помощью обратной матрицы.
Х1 + Х2 =
3
Х1 – Х2 = 1
Х1 – Х2 = 1
Решение.
1) Запишем систему в матричном виде
А =
1 1
1 -1
Х =
Х1
Х2
В =
3
1
1 1
1 -1
=
3
1
Х1
Х2
- матричный вид системы
А Х = В
Слайд 7А =
-1
1
Δ
A11 A21
A12 A22
2) Получаем
решение системы
где А - обратная матрица
где А - обратная матрица
-1
Х = А В
-1
где Δ - главный определитель системы, Аij – алгебраические дополнения
3) Вычислим обратную матрицу
Δ =
1 1
1 -1
= -1-1 = -2
≠ 0
А – невырожденная матрица
А =
-1
1
-2
-1 -1
-1 1
=
1
2
1 1
1 -1
Слайд 9Рассмотрим пример 2
Задание.
Найти решение системы
с помощью обратной матрицы.
Решение.
1) Запишем систему в
матричном виде
А Х = В
А =
1 2 -1
2 -1 1
1 1 2
Х =
Х1
Х2
Х3
В =
4
1
5
1 2 -1
2 -1 1
1 1 2
Х =
4
1
5
2) Составим матричное уравнение
Слайд 10А =
-1
1
Δ
A11 A21 А31
A12 A22
А23
А13 А23 А33
А13 А23 А33
3) Решим матричное уравнение
где А - обратная матрица
-1
Х = А В
где Δ - главный определитель системы, Аij – алгебраические дополнения
-1
4) Найдём главный определитель основной матрицы А
Δ =
1 2 -1
2 -1 1
1 1 2
= -2 -2+2-1-1-8 = -12
≠ 0
А – невырожденная матрица, значит обратная матрица существует
Слайд 115) Найдём алгебраические дополнения для основной матрицы А
6) Вычислим обратную матрицу
А
-1
А =
-1
1
-12
-3 -5 1
-3 3 -3
3 1 -5
=
1
12
3 5 -1
3 -3 3
-3 -1 5
Слайд 127) Найдём неизвестную матрицу Х, которая является решением данной системы
Х =
А В
-1
=
1
12
3 5 -1
3 -3 3
-3 -1 5
4
1
5
=
1
12
12+5-5
12-3+15
-12-1+25
12
24
12
=
=
1
12
=
1
2
1
Х1
Х2
Х3
=
Ответ: Х1 = 1 ; Х2 = 2 ; Х3 = 1
Слайд 13Рассмотрим пример 3
Задание.
Найти решение системы
с помощью обратной матрицы.
Решение.
1) Запишем систему в
матричном виде
А Х = В
А =
1 -3 4
1 -1 7
1 -2 1
Х =
Х1
Х2
Х3
В =
6
7
2
Х =
2) Составим матричное уравнение
1 -3 4
1 -1 7
1 -2 1
6
7
2
Слайд 14А =
-1
1
Δ
A11 A21 А31
A12 A22
А23
А13 А23 А33
А13 А23 А33
3) Решим матричное уравнение
где А - обратная матрица
-1
Х = А В
где Δ - главный определитель системы, Аij – алгебраические дополнения
4) Найдём главный определитель основной матрицы А
Δ =
= 1∙13 + 1∙(-5) + 1∙(-17) = -9
≠ 0
А – невырожденная матрица, значит обратная матрица существует
1 -3 4
1 -1 7
1 -2 1
Слайд 155) Найдём алгебраические дополнения для основной матрицы А
6) Вычислим обратную матрицу
А
-1
А =
-1
1
- 9
13 -5 -17
6 -3 -3
-1 -1 2
=
1
9
-13 5 17
-6 3 3
1 1 -2
Слайд 167) Найдём неизвестную матрицу Х, которая является решением данной системы
Х =
А В
-1
=
1
9
=
1
9
-78+35+34
-36+21+6
6+7-4
-9
-9
9
=
=
1
9
=
-1
-1
1
Х1
Х2
Х3
=
Ответ: Х1 = -1 ; Х2 = -1 ; Х3 = 1
-13 5 17
-6 3 3
1 1 -2
6
7
2
∙
Слайд 17Итак, для этого метода нужно:
Найти и посчитать матрицу, обратную для основной
матрицы системы
(если она существует);
(если она существует);
умножить полученную матрицу на матрицу-столбец свободных членов
полученная в результате умножения тоже матрица-столбец и есть решение системы.
Слайд 18Основные источники
Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике. 1 часть /
К.Н. Лунгу, Д.Т. Письменный, С. Н. Федин. – 7-е изд. – М.: Айрис – пресс, 2008. - 576с.: ил. – ( Высшее образование )
Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть / Д.Т. Письменный – 5-е изд. – М.: Айрис – пресс, 2005.-288с.: ил.
Тюрникова Г.В. Курс высшей математики для начинающих: Учебное пособие. – М.: ГУ-ВШЭ, 2008. 376с.
Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть / Д.Т. Письменный – 5-е изд. – М.: Айрис – пресс, 2005.-288с.: ил.
Тюрникова Г.В. Курс высшей математики для начинающих: Учебное пособие. – М.: ГУ-ВШЭ, 2008. 376с.
