Презентация, доклад по дисциплине Элементы высшей математики на тему: Основные понятия и определения системы линейных алгебраических уравнений - урок 10-ый. Рекомендовано для выпускников СПО.

математики
Осипова Людмила Евгеньевна
Mila139139 @ yandex.ru

Тема 1.2.
Системы линейных алгебраических уравнений.

Раздел 1. Элементы линейной алгебры.

Лекция № 8

УРОК ДЕСЯТЫЙ

a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2
………………………………..
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm

Система из m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид:

Числа а11 , а12 , ... , а mn - это коэффициенты системы

Числа b1, b2 ,…, bm – свободные члены системы

Переменные х1, х2 ,…, хm - неизвестные, значения
которых надо найти

1

… = bm = 0

неоднородной

если хоть один из свободных членов не равен нулю

доказать их отсутствие

Система уравнений имеет
решение?

НЕТ

совместной

ДА

Если решение одно, то
система называется

Совместной определённой

Если решений бесконечно много, то система называется

Совместимой неопределённой

ОДНО

МНОГО

В – матрица-столбец свободных членов.

1

А =

а11 а12 ... a1n
a21 a22 … a2n
.....................
am1 am2 … amn

X =

X1
X2
….
Xn

B =

b1
b2
….
bm

Система записи систем линейных уравнений Матричный вид

свободных членов

A/B =

а11 а12 ... a1n / b1
a21 a22 … a2n / b2
..................... / ....
am1 am2 … amn / bm

А – основная матрица системы,
В – матрица-столбец свободных членов.

Система записи систем линейных уравнений Расширенная матрица

3
Х1 – Х2 = 1

Анализ.

Задание.

Это неоднородная система двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Система совместная, имеет единственное решение Х1 = 2, Х2 = 1

Геометрически это означает, что две прямые
пересекаются в одной точке, координаты которой (2;1).

ШАГ 1

ШАГ 2

ШАГ 3

так:

Х1 + Х2 = 3
Х1 – Х2 = 1

система уравнений. Сделать анализ.

Анализ.

Это так же неоднородная система двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Она совместная, имеет бесконечное множество решений: (2;1), (4;-1), (0;3), и т.п.

Геометрически это означает, что две прямые совпадают друг с другом, и решением системы являются координаты точек, принадлежащие этой прямой

ШАГ 1

ШАГ 2

ШАГ 3

так:

Х1 + Х2 = 3
2Х1 + 2Х2 = 6

1

2

(2;1)

(1;2)

4

-1

(4;-1)

(0;3)

3

3

(3;0)

нет ни одной пары (Х1;Х2), которая при подстановке в каждое уравнение системы обращала бы их одновременно в верные числовые равенства.

Геометрически это означает, что прямые параллельны.

Х1 + Х2 = 3
Х1 + Х2 = 7

Рассмотрим пример 3

Задание.

Задана система уравнений. Сделать анализ.

Анализ.

ШАГ 1

ШАГ 2

ШАГ 3

так:

Х1 + Х2 = 3
Х1 + Х2 = 7

(4;3)

(5;2)

2

3

4

5

6

7

2

3

4

-1

-2

(0;3)

(3;0)

нелинейная система двух
уравнений с двумя
переменными.
Ее можно решить, например,
методом подстановки,
дать геометрическую интерпретацию.
Но такими системами этот раздел не занимается.

Рассмотрим пример 4

Задание.

Задана система уравнений. Сделать анализ.

Анализ.

х2

х1

2

4

-2

-2

2

4

-4

-4

(2;2)

(-2;-2)

0

(-5;0)

(5;0)

(0;5)

(0;-5)

двух линейных уравнений с двумя переменными.
Она совместная, имеет единственное решение
(0;0)

Рассмотрим пример 5

Задание.

Задана система уравнений. Сделать анализ.

Анализ.

х2

х1

2

2

-2

-2

-4

4

4

-4

6

0

Х1 + 2Х2 =0

(-2;4)

(2;-4)

(10/3;-2)

(-10/3;2)

3Х1 + 5Х2 =0

двух линейных уравнений с двумя
переменными.
Она совместная, имеет бесконечное множество решений, например,
(0;0), (-3;2), (3;-2), и т.д.

Рассмотрим пример 6

Задание.

Задана система уравнений. Сделать анализ.

Анализ.

х2

х1

-1

-2

-3

1

2

3

1

2

-1

-2

(-3;2)

(0;0)

(3;-2)

= 1
8x + y – z = 10

Это неоднородная система трех линейных уравнений
с тремя неизвестными.
Но здесь не так легко, как в предыдущих примерах,
ответить на вопрос о ее совместности или несовместности.
Разберитесь с ней позже, самостоятельно

Рассмотрим пример 7

Задание.

Задана система уравнений. Сделать анализ.

Анализ.

система линейных уравнений или нет?

Если система совместна, то сколько решений она имеет: единственное или бесконечное множество?

К.Н. Лунгу, Д.Т. Письменный, С. Н. Федин. – 7-е изд. – М.: Айрис – пресс, 2008. - 576с.: ил. – ( Высшее образование )
Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть / Д.Т. Письменный – 5-е изд. – М.: Айрис – пресс, 2005.-288с.: ил.
Тюрникова Г.В. Курс высшей математики для начинающих: Учебное пособие. – М.: ГУ-ВШЭ, 2008. 376с.