Презентация, доклад по дисциплине Элементы высшей математики на тему: Основные свойства определителей - урок 4-ый. Рекомендовано для выпускников среднего профессионального образования.

@ yandex.ru

Тема 1.1.
Матрицы и определители.

Раздел 1. Элементы линейной алгебры.

Лекция № 4

УРОК ЧЕТВЁРТЫЙ

т.е. при транспонировании величина определителя сохраняется.

а1 b1
a2 b2

a1 а2
b1 b2

Пусть detA =

, detB =

Тогда detA = a1 b2 - a2 b1 и detB = a1 b2 – b1 a2 = a1 b2 – a2 b1

что detA = detB ,

Ч. Т. Д.

Определитель не изменится, если поменять местами строки и столбцы т.е. при транспонировании величина определителя сохраняется.

5
4 1

3 4
5 1

А =

В =

Решение.

Найдём определитель матриц А и В

detA =

3 5
4 1

= 3 1 – 4 5 = 3 – 20 = -17

detB =

3 4
5 1

= 3 1 - 5 4 = 3 – 20 = -17

detA = detB

СВОЙСТВО № 1

знак.

а1 b1
a2 b2

b1 а1
b2 a2

Пусть detA =

, detB =

Тогда detA = a1 b2 - a2 b1 и detB = b1 a2 – b2 a1 = - (a1 b2 – a2 b1)

что detA = - detB ,

Ч. Т. Д.

Тогда detA = a1 b2 - a2 b1 и detB = b1 a2 – b2 a1 = - (a1 b2 – a2 b1)

что detA = - detB ,

Ч. Т. Д.

5
4 1

5 3
1 4

А =

В =

Решение.

Найдём определитель матриц А и В

detA =

3 5
4 1

= 3 1 – 4 5 = 3 – 20 = -17

detB =

5 3
1 4

= 5 4 - 1 3 = 20 – 3 = 17

detA = - detB

СВОЙСТВО № 2

Даны две матрицы А и В. Вычислить определитель.

3 5
4 1

5 3
1 4

А =

В =

Решение.

Найдём определитель матриц А и В

нулю.

а1 a1
a2 a2

Пусть detA =

= a1 a2 - a1 a2 = 0

Рассмотрим пример 3

detA =

3 3
7 7

= 3 7 – 7 3 = 21 – 21 = 0

Дана матрица А. Вычислить определить.

3 3
7 7

А =

на одно и тоже число, то определитель умножится на это число.

а1 b1
a2 b2

λa1 а2
λb1 b2

Пусть detA =

, detB =

Тогда detA = a1 b2 - a2 b1 и detB = λa1 b2 – λb1 a2 = λ(a1 b2 – a2 b1)

что detB = λ detA ,

Ч. Т. Д.

5
4 1

А =

В =

Решение.

Найдём определитель матриц А и В

6 5
8 1

detA =

3 5
4 1

= 3 1 – 4 5 = 3 – 20 = -17

detB =

6 5
8 1

= 6 1 - 8 5 = 6 – 40 = - 34

detB = λ detA

СВОЙСТВО № 4

пропорциональны, равен нулю.

a1 λа1
а2 λа2

Пусть

detА =

Тогда detA = λ a1 а2 – λ а2 a1 = 0

Рассмотрим пример 5

detA =

3 9
4 12

= 3 12 – 4 9 = 36 – 36 = 0

Дана матрица А. Вычислить определить.

3 9
4 12

А =

сумма двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей: у одного из них элементами соответствующего столбца или строки первые слагаемые, у другого – вторые.

а1 b1
a2 b2

d1 b1
d2 b2

detA =

detB =

a1 + d1 b1
a2 + d2 b2

detD =

Тогда detA = a1 b2 - a2 b1 и detB = d1 b2 – d2 b1

Det D = ( a1 + d1 ) b2 – ( a2 + d2 ) b1 = a1b2 + d1b2 – a2 b1 – d2 d1 =
( a1 b2 – a2 b1 ) + ( d1 b2 – d2 b1 ) = detA + detB

detA

detB

D. Вычислить определитель.

3 5
4 1

А =

В =

4 5
4 1

7 5
8 1

D =

Решение.

Найдём определитель матриц А , В , D

detA =

3 5
4 1

= 3 1 – 4 5 = 3 – 20 = -17

detB =

4 5
4 1

= 4 1 - 4 5 = 4 – 20 = - 16

detD =

7 5
8 1

= 7 1 - 8 5 = 7 – 40 = - 32

detD = detA + detB

3+4

4+4

или строки прибавить соответствующие элементы другого столбца или строки, умноженные на одно и то же число.

a1 b1
a2 b2

detA =

a1 + λb1 b1
a2 + λb2 b2

detB =

Тогда detA = a1 b2 - a2 b1

detB = ( a1 + λb1 ) b2 – ( a2 + λb2 ) b1 = a1 b2 + λb1 b2 – a2 b1 – λb1 b2 =
= a1 b2 – a2 b1 = detA

detA = detB

detA

5
4 1

А =

В =

3 + 6 5 5
4 + 6 1 1

Решение.

Найдём определитель матриц А и В

detA =

3 5
4 1

= 3 1 – 4 5 = 3 – 20 = -17

detB =

33 5
10 1

= 33 1 - 10 5 = 33 – 50 = - 17

33 5
10 1

=

СВОЙСТВО № 7

К.Н. Лунгу, Д.Т. Письменный, С. Н. Федин. – 7-е изд. – М.: Айрис – пресс, 2008. - 576с.: ил. – ( Высшее образование )
Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть / Д.Т. Письменный – 5-е изд. – М.: Айрис – пресс, 2005.-288с.: ил.
Тюрникова Г.В. Курс высшей математики для начинающих: Учебное пособие. – М.: ГУ-ВШЭ, 2008. 376с.